VOJ 1049送给圣诞夜的礼物——矩阵快速幂模板

题意

顺次给出 $m$个置换，反复使用这 $m$ 个置换对一个长为 $n$ 初始序列进行操作，问 $k$ 次置换后的序列。$m<=10, k<2^31$。

题目链接

分析

对序列的置换可表示成乘上一个矩阵，例如

$$egin{bmatrix}
0 & 0 &  0& 0 & 0 & 1 & 0\
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 &0  &0 \
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 &0  & 0
end{bmatrix}
imes egin{bmatrix} 1\  2\ 3\ 4\ 5\ 6\ 7 end{bmatrix}
 = egin{bmatrix} 6\  1\ 3\ 7\ 5\ 2\ 4 end{bmatrix}$$

因此，只需要将 $m$ 个“置换”乘起来，然后执行 $k/m$ 次，剩下的 $k \% m$ 次模拟一下。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

typedef long long ll;
struct matrix
{
    int r, c;
    int mat[105][105];
    matrix(){
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
    }
};
int n, m, k;

matrix mul(matrix A, matrix B)   //矩阵相乘
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = B.c;
    for(int i = 0;i < A.r;i++)
        for(int k = 0;k < A.c;k++)
            for(int j = 0;j < B.c;j++)
            {
                ret.mat[i][j] = (ret.mat[i][j] + A.mat[i][k] * B.mat[k][j]);
            }
    return ret;
}

matrix mpow(matrix A, int n)
{
    matrix ret;
    ret.r = A.r; ret.c = A.c;
    for(int i = 0;i < ret.r;i++)  ret.mat[i][i] = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1)  ret = mul(ret, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

int  main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
    matrix A;
    A.r = A.c = n;
    for(int i = 0;i < n;i++) A.mat[i][i] = 1;
    int t = k % m;
    matrix yu; yu.r = yu.c  = n;
    for(int i = 0;i < m;i++)
    {
        if(i == t)  yu = A;   //记录剩余部分的乘积

        matrix tmp; tmp.r = tmp.c = n;
        for(int j = 0;j < n;j++)
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            tmp.mat[j][x-1] = 1;
        }
        A = mul(tmp, A);
    }
    A = mpow(A, k/m);
    A = mul(yu, A);    //注意顺序，矩阵乘法不满足交换律

    for(int i = 0;i < n;i++)
        for(int j = 0;j < n;j++)
            if(A.mat[i][j])  printf("%d%c", j+1, i == n-1 ? '
' : ' ');
}

参考链接：

1. 十个利用矩阵乘法解决的经典问题——Matrix67

2. https://www.cnblogs.com/zhchoutai/p/6789494.html