上界、下界和确界

定义

$O$ 符号

定义：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是从自然数集到非负实数集的两个函数，如果存在一个自然数 $n_0$ 和一个常数 $c>0$，使得

$$forall n geq n_0, f(n) leq cg(n)$$

称 $f(n)$ 为 $O(g(n))$.

用极限的判断方法是：

$displaystyle lim_{n o infty}frac{f(n)}{g(n)} eq infty$ 蕴含着 $f(n) = O(g(n))$.

$Omega$ 符号

定义：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是从自然数集到非负实数集的两个函数，如果存在一个自然数 $n_0$ 和一个常数 $c>0$，使得

$$forall n geq n_0, f(n) geq cg(n)$$

称 $f(n)$ 为 $Omega(g(n))$.

$displaystyle lim_{n o infty}frac{f(n)}{g(n)} eq 0$ 蕴含着 $f(n) = Omega(g(n))$.

$Theta$ 符号

定义：令 $f(n)$ 和 $g(n)$ 是从自然数集到非负实数集的两个函数，如果存在一个自然数 $n_0$ 和两个正个常数 $c_1, c_2$，使得

$$forall n geq n_0, c_1g(n) leq g(n) leq c_2g(n) $$

称 $f(n)$ 为 $Theta(g(n))$.

$displaystyle lim_{n o infty}frac{f(n)}{g(n)} = c$ 蕴含着 $f(n) = Theta(g(n))$.

举例

1、像插入排序这样的算法，由于运行时间从线性到平方，因此没有准确界。

2、任一常函数是 $f(n)$ 为 $Theta(g(n))$.

3、$f(n) = Theta f(n+1)$?不一定。例如 $2^n$ 满足，$n!$ 不满足。

4、求 $f(n) = log(n!)$ 的确界

因为 $log(n!) = sum_{i=1}^nlog(i)$，显然 $sum_{j=1}^nlog(j) leq sum_{j=1}^nlog(n)$，即 $sum_{j=1}^nlog(j) = O(nlogn)$；又 $sum_{j=1}^nlog(j) leq sum_{j=1}^{n/2}log(frac{n}{2}) = frac{n}{2}log(frac{n}{2}) = frac{n}{2}logn - frac{n}{2}log2$，那么 $sum_{j=1}^nlog(j) = Omega (nlogn)$，因此 $sum_{j=1}^nlog(j) = Theta (nlogn)$