令 $f(x)$ 是一个单调递减或单调递增的连续函数，现在来估计和式 $sum_{j=1}^nf(j)$ 的值。
可以通过积分来近似求和，得出上下界如下：
如果 $f(x)$ 单调递减，那么有
$$int_m^{n+1}f(x)dx leq sum_{j=m}^n f(j) leq int_{m-1}^nf(x)dx$$
如果 $f(x)$ 单调递增，那么有
$$int_{m-1}^{n}f(x)dx leq sum_{j=m}^n f(j) leq int_{m}^{n+1}f(x)dx$$.
例子
1、求 $displaystyle j^k, kgeq 1$.
解：由于 $j^k$ 是递增的，由上面的公式有
$$int_0^nx^kdx leq sum_{j=1}^nj^k leq int_1^{n+1}x^kdx$$
即 $frac{n^{k+1}}{k+1} leq sum_{j=1}^nj^k leq frac{(n+1)^{k+1}-1}{k+1}$.
由确界的定义，我们有 $sum_{j=1}^k = Theta (n^{k+1})$.
2、求调和级数 $H_n = sum_{j=1}^nfrac{1}{j}$
解：同样由公式
上界：$sum_{j=1}^n frac{1}{j} = 1 + sum_{j=2}^n leq 1 + int_{1}^nfrac{dx}{x} = 1 + ln n$，
下界：$sum_{j=1}^nfrac{1}{j} geq int_1^{n+1}frac{dx}{x} = ln(n+1)$.
由确界的定义，$H_n = Theta(log n)$.
3、求级数 $sum_{j=1}^nlog j$.
解：
上界：$sum_{j=1}^n log j = log n + int_{1}^nlog j leq log n + nlog n - nlog e + log e$.
下界：$sum_{j=1}^n log j= sum_{j=2}^n log j geq int_{1}^n log xdx = nlog n - n log e + log e$.
由确界的定义有 $sum_{j=1}^n log j = Theta (nlog n)$.
如果对两边取指数，可得到阶乘的近似公式
$$e(frac{n}{e})^n leq n! leq ne(frac{n}{e})^n$$
这和String公式已经相当接近了。