抛物线有很多几何性质，网上也有不少关于这些性质的推导的文章，不过几乎清一色地都是用的解析几何的方法。联立方程，导出根与系数的关系，算算算算算……
但是，与同样是二次曲线的椭圆和双曲线不同，圆和抛物线的几何性质非常「好」，不用坐标法，也能推出很多结论。不过相比具有完美对称性的圆来说，抛物线还是逊色了许多。圆的切线很容易用几何条件去描述（容易用反证法证出圆的切线垂直于过切点的直径），而抛物线的切线虽然也容易用几何条件描述，但相关结论却难以用纯几何法证出。所以涉及切线问题时，还是需要用坐标法证明一个重要结论的。虽然如此，本文的证明过程还是要比带着一大坨方程的纯代数法清爽得多。
要证结论，得先给出定义：
定义 由平面内到一个定点和一条定直线距离相等的所有点构成的图形，称为抛物线. 定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线, 焦点到准线的距离称为焦准距.
结论 1 抛物线是轴对称图形，准线过焦点的垂线是它的一条对称轴.
证明
设焦点为 (F), 准线为 (l), 轴为 (a), 抛物线上有一点 (P). 过 (P) 作 (PP'perp l), 垂足为 (P'). 当 (P) 不在 (a) 上时，作 (P) 关于 (a) 的对称点 (Q), 作 (P') 关于 (a) 的对称点 (Q'). 连接 (FP)、(FQ). 由 (a perp l) 知 ( PP'parallel a ), 所以 ( QQ'parallel a ), 所以 (QQ' perp l). 由对称知 (PP'=QQ'), (FP=FQ), 又 ( FP=PP' ), 所以 ( FQ=QQ' ), 所以 (Q) 在抛物线上, 结论得证.
定义 抛物线的准线过焦点的垂线称为抛物线的轴, 轴与抛物线的交点称为抛物线的顶点.
结论 2 设抛物线的焦点为 (F), 顶点为 (O), 焦准距为 (p), 对于抛物线上任意一点 (P), (FP = frac{p}{1+cos{angle{OFP}}}).
证明
设 (FP= ho), (angle{OFP}= heta).
如图，当 ( heta > 90^{circ}) 时，作 (FP) 在轴上的投影，易得 ( ho = p- hocos{ heta}). 整理得 ( ho = frac{p}{1+cos{ heta}}), 即 (FP = frac{p}{1+cos{angle{OFP}}}).
同理可证当 (0^{circ} < heta < 90^{circ}) 时，结论仍然成立.
当 ( heta = 90^{circ}) 时，( PF=p ), 结论仍然成立。
当 ( heta = 0^{circ}) 时，( PF = frac{p}{2} ), 结论仍然成立.
综上，对于抛物线上任意一点 (P), 结论成立.
推论 1 设抛物线的焦准距为 (p), 过抛物线焦点 (F) 的直线与抛物线交于 (A)、(B) 两点，则有 (frac{1}{AF}+frac{1}{BF}=frac{2}{p}).
推论 2 设抛物线的顶点为 (O), 焦准距为 (p), (angle{OFP}= heta), 过抛物线焦点 (F) 的直线与抛物线交于 (A)、(B) 两点，则有 (AB=frac{2p}{sin^2{ heta}}).
结论 3 设抛物线轴与准线的交点为 (K), 过抛物线焦点 (F) 的直线与抛物线交于 (A)、(B) 两点, 则轴平分 (angle{AKB}).
如图，设准线为 (l), 轴为 (a), 过 (A) 作 (ADperp l), 交 (l) 于 (D), 过 B 作 (BCperp l), 交 (l) 于 (C).
(ecause) (ADperp l) 且 (BCperp l)
( herefore) (ADparallel a) 且 (BCparallel a)
( herefore) (frac{KD}{KC}=frac{FA}{FB} )
又 (ecause) (FA=AD) 且 (FB=BC)
( herefore) (frac{KD}{KC}=frac{AD}{BC} )
( herefore) ( riangle{KDA}sim riangle{KCB})
( herefore) (angle{DKA} = angle{CKB})
( herefore) 轴平分 (angle{AKB})
结论 4 设抛物线焦点为 (F), 准线为 (l), 轴与准线的交点为 (K), 过 (F) 的直线与抛物线交于 (A)、(B) 两点，过 (A) 作 (ADperp l), 交 (l) 于 (D), 过 B 作 (BCperp l), 交 (l) 于 (C), 则(FD) 平分 (angle{KFA}), (FC) 平分 (angle{KFB}), (FCperp FD).
证明
(ecause) (FB=BC), (FA=AD)
( herefore) (angle{AFD}=angle{ADF}), (angle{BFC}=angle{BCF})
(ecause) (KFparallel AD), (KFparallel BC)
( herefore) (angle{KFD}=angle{ADF}), (angle{KFC}=angle{FCB})
( herefore) (FD) 平分 (angle{KFA}), (FC) 平分 (angle{KFB})
( herefore) (FCperp FD)
结论 5 设抛物线焦点为 (F), 准线为 (l), 顶点为 (O), 过 (F) 的直线与抛物线交于 (A)、(B) 两点，过 (A) 作 (ADperp l), 交 (l) 于 (D), 过 B 作 (BCperp l), 交 (l) 于 (C), 则 (A)、(O)、(C) 三点共线，(B)、(O)、(D) 三点共线.
证明
连接 (AC) 交轴于 (O')
由 ( riangle{AO'F}sim riangle{ACB}) 得
( frac{BC}{O'F}= frac{AB}{AF} )
( frac{BF}{O'F}= frac{AF+BF}{AF} )
( frac{BF}{O'F}= 1+frac{BF}{AF} )
( frac{1}{O'F}= frac{1}{BF}+frac{1}{AF} )
由结论 2 推论 1 得
( frac{1}{O'F}= frac{2}{p} )
( O'F= frac{p}{2} )
( herefore ) (O') 与 (O) 重合
( herefore ) (A)、(O)、(C) 三点共线
同理可得 (B)、(O)、(D) 三点共线.
( herefore ) 结论成立.
下面用坐标法证明抛物线切线的一个几何性质，作为描述抛物线切线的几何条件。
定理 在平面直角坐标系 (xOy) 中，焦点为 ( (0, frac{p}{2}) ), 准线为 ( y=-frac{p}{2} ) 的抛物线的方程为 ( x^2=2py ).
证明略.
结论 6 设抛物线顶点为 (O), 过顶点的切线为 (l), 抛物线上有一异于顶点的点 (P). 过点 P 作抛物线的切线 (m), 交 (l) 于 (M), (P) 在 (l) 上的投影为 (P'), 则 (M) 是 (OP) 的中点.
证明
如图建系. 设 ( P(x_0, y_0) )
( y=frac{x^2}{2p} )
(Rightarrow y'=frac{x}{p} )
(Rightarrow m: y-y_0 = frac{x_0}{p}(x-x_0))
令 ( y=0 ), 得
( -y_0 = frac{x_0}{p}(x-x_0))
解得
( x = frac{x_0}{2} )
( herefore ) 结论得证
结论 7 设抛物线顶点为 (O), 焦点为 (F), 准线为 (l), 轴与准线的交点为 (K), 过顶点的切线为 (m), 抛物线上有一异于顶点的点 (P). 过点 (P) 作抛物线的切线 (t), 交 (m) 于 (M). 过 (P) 作 (PDperp l), 交 (l) 于 (D), 则 (F)、(D)、(M) 三点共线，切线 (PM) 是 (FD) 的垂直平分线.
证明
由 (O) 是 (KF) 的中点及结论 6 可知，(F)、(D)、(M) 三点共线
( herefore ) ( DM=FM )
又 ( ecause ) ( PF=PD ), ( MP=MP )
( herefore ) ( riangle{PMF}cong riangle{PMD} )
( herefore ) (PM) 垂直平分 (FD)
( herefore ) 结论得证
推论 从抛物线的焦点射出的光线，经抛物线反射后沿与抛物线的轴平行的方向射出.
结论 8 设抛物线焦点为 (F), 准线为 (l), 过顶点的切线为 (m), 过 (F) 的直线与抛物线交于 (A)、(B) 两点，过 (A) 作 (ADperp l), 交 (l) 于 (D), 过 B 作 (BCperp l), 交 (l) 于 (C), 过 (A)、(B) 作分别抛物线的切线 (t_1)、(t_2), ( t_1cap m=G ), ( t_2cap m=H ), 则 (t_1) 与 (t_2) 的交点 (T) 在 (l) 上，(TC=TD), 且 (TAperp TB).
证明
设 ( t_1cap l=T_1 ), ( t_2cap l=T_2 ).
由结论 4 及 结论 7 知，(T_1Gperp FD), (CFperp FD)
( herefore ) (T_1Gparallel CF)
又由结论 7 知，(G) 是 (FD) 的中点
( herefore ) (T_1G) 是 ( riangle{DFC}) 的中位线
( herefore ) (T_1) 是 (CD) 的中点
同理可知，(T_2) 也是 (CD) 的中点
( herefore ) (T_1) 与 (T_2) 重合
( herefore ) (t_1) 与 (t_2) 在 (m) 上交于一点
设这一点为 (T).
由结论 4 及 结论 7 知，(angle{TGF}=angle{GFH}=angle{FHT}=90^{circ})
( herefore ) (angle{HTG}=90^{circ})
( herefore ) (TGperp TH), 即 (TAperp TB)
综上，结论得证.
推论 1 四边形 (TGFH) 是矩形.
推论 2 以 (AB) 为直径的圆与准线相切，以 (AF) 为直径的圆、以 (BF) 为直径的圆与 (m) 相切.
能想到的性质暂时就这么多。欢迎补充。