像这种常见的「普通」计算器，其实啥都能算（有了极限，啥玩意都能变成加减乘除）。其中，自然对数尤其好算，本文将提供一种方法，主要利用的是计算器的开平方功能。
众所周知，自然对数有如下展开式：
( ln{(1+x)} = x-frac{x^{2}}{2}+frac{x^{3}}{3}-frac{x^{4}}{4}+cdots ;; left ( |x| < 1 ight ) )
但这玩意对于这种「普通」计算器来说太难算了。所以，条条大路通罗马，在这里我们换一种思路。
回想一下函数 ( y = a^x (a> 0, a eq 1) ) 的导数是怎么推出来的：
( frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}a^x )
( =lim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^{x+ Delta x} - a^x}{Delta x} )
( =lim_{Delta x ightarrow 0}a^xfrac{a^{Delta x} - 1}{Delta x} )
( =a^xlim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^{Delta x} - 1}{Delta x} ) (1)
可以看出，后面那一坨极限已经跟 (x) 没关系了，应该等于一个跟 (a) 有关的常数。那么这个常数到底是多少呢？容易发现，令 ( x=0 ) 可得
( frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}a^x Big|_{x=0} =lim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^{Delta x} - 1}{Delta x} )
也就是说，这个极限就等于函数在 (x=0) 处的导数值。根据指数函数的图像，我们「猜测」（这里就不是很严谨了，不过这不是本文的重点）当 (a) 取到某个值时，(x=0)处的切线斜率等于 (1), 即这个极限等于 (1), 此时函数的导函数恒等于函数本身。设这个值为 (e)（用 (ln{x}) 表示以 (e) 为底 (x) 的对数），可得
( frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} e^x = e^x )
所以
( frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} a^x )
(= frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} (e^{ln{a}})^x) （代入对数恒等式可得）
(= frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x} e^{xln{a}} )
( = frac{mathrm{d} }{mathrm{d} (xln{a})} e^{xln{a}} frac{mathrm{d} }{mathrm{d} x}(xln{a}) ) （链式法则）
( = e^{xln{a}}cdot ln{a} )
( = {(e^{ln{a}})}^xcdot ln{a} )
( = a^xcdot ln{a} )
跟 (1) 式比较一下，即得
( ln{a} = lim_{Delta x ightarrow 0}frac{a^{Delta x} - 1}{Delta x} ) (2)
那么，这个 (e) 到底等于多少呢？取反函数，得：
( e^x = lim_{p ightarrow +infty }{(frac{x}{p}+1)}^{p} )
( e = lim_{p ightarrow +infty }{(frac{1}{p}+1)}^{p} )
可以算出 (e = 2.71828cdots), 这即是「自然对数的底」，( ln{x} ) 即 (x) 的「自然对数」。
(2) 式左边是对数，右边是幂，离目标近了一步，不过还是不好算。来点黑科技，把指数式变成根式：
( ln{a} = lim_{x ightarrow 0}frac{a^{x} - 1}{x} )
( = lim_{k ightarrow +infty }frac{a^{(2^{-k})} - 1}{(2^{-k})} )
( = lim_{k ightarrow +infty }(a^{frac{1}{2^{k}} } - 1)cdot 2^{k} )
( = lim_{k ightarrow +infty }(sqrt[2^k]{a} - 1)cdot 2^{k} )
( = lim_{k ightarrow +infty }(underbrace{sqrt{cdotssqrt{sqrt{a}}}}_{k imes } - 1)cdot 2^{k} ) ( (kin mathbb{N}) )
这个式子的值就很好算了，只要不断开平方就行了。试着令 (k=8), 算一下 ( ln{2} ):
算出的值是 ( 0.694086413 ), 事实上 ( ln{2} approx 0.693147 ), 误差 ( 0.000939413 ), 怎么样，够精确吧？再算算 ( ln{3} ):
算出的值是 ( 1.100972987 ), 事实上 ( ln{3} approx 1.09861 ), 误差 ( 0.00236299 ), 比刚才略大。可以证明，( x ) 越接近 ( 1 ), 用这种方法算出的 ( ln{x} ) 的近似值跟实际值误差越小。下面是函数 ( y=ln{x} ) 和 ( y=(sqrt[256]{x}-1)cdot 256 ) 在同一坐标系内的部分图像。可以看出，拟合得非常好，简直以假乱真：
这还只是 ( k=8 ) 时的情形, (k) 更大就更精确了。怎么样，这个方法不错吧？