《数据结构与算法之美》13——跳表

 上篇文章介绍了二分查找算法。因为二分查找底层依赖的是数组随机访问的特性，所以只能用数组来实现。那么数据存储在链表中，就不能用二分查找算法吗？

对于一个单链表，即便链表中存储的数据是有序的，如果要查找某个数据，也只能从头到尾遍历链表。这样查找效率很低，时间复杂度是O(n)。

 

如果像图中那样，对链表建立一级“索引”，查找起来是不是就能更快些呢？每两个结点提取一个结点到上一级，把抽出来的那一级叫作索引或索引层。

 

如果要查找某个结点，比如16。原来单链表的查找要遍历10个结点，而使用索引后，只需要遍历7个结点。可以看出，加了一层索引之后，查找一个结点需要遍历的结点个数减少了，也就是说查找效率提高了。

如果我们在第一级索引的基础上，建第二级索引。现在再来查找16，需要遍历的结点数量（6）又减少了。

 

前面讲的这种链表加多级索引的结构，就是跳表。

跳表查询有多快

算法的执行效率可以时间复杂度来度量。我们知道，在一个单链表中查询某个数据的时间复杂度是O(n)。那在一个具有多级跳表中，查询某个数据的时间复杂度是多少呢？

假设链表里有n个结点。按照每两个结点抽出一个结点作为上一级的结点，那第一级索引的结点个数大约是n/2，第二级索引结点个数大约是n/4，以此类推，第k级索引的结点个数是第k-1级索引的结点个数的1/2，那么第k级索引结点个数是n/(2^k)。

假设索引有h级，最高级的索引有2个结点，通过上面的公式，可以得到n/(2^h)=2，从而求得h=log2(n-1)。如果包含原始链表这一层，整个跳表的高度就是log2(n)。

在跳表中查询某个数据的时候，如果每一层都要遍历m个结点，那跳表中查询一个数据的时间复杂度就是O(m*logn)。

按照前面这种索引结构（每两个结点抽出一个结点作为上一级的结点），每一级索引最多只需要遍历3个结点，即m=3。

假设要查找的数据是x，在第k级索引中，遍历到y结点之后，发现x>y，x<z，就通过y结点的down指针下降到第k-1级索引。在第k-1级索引中，y和z之间只有3个结点（包含y和z），以此类推，每一级索引都最多只需要遍历3个结点。

 

所以跳表中查询任意数据的时间复杂度是O(logn)。

跳表是不是很浪费内存

比起单链表，跳表要存储多级索引，相对要消耗更多的存储空间。

假设原始链表大小是n，那第一级索引大约是n/2，第二级索引大约是n/4，以此类推，直到第k层索引剩下2个结点。

 

这是一个等比数列，索引总和是n/2+n/4+n/8+....+8+4+2=n-2。所以跳表的空间复杂度是O(n)。

高效的动态插入和删除

我们知道，在单链表中，一旦定位好要插入的位置，插入结点的时间复杂度是很低的，就是O(1)。但定位位置这个查找操作就会比较耗时。

相对单链表的查找的时间复杂度O(n)，跳表的查找的时间复杂度是O(logn)。

 

删除操作跟插入类似，但如果这个结点在索引中也有出现，那还要删除索引中的。

跳表索引动态更新

当不停往跳表中插入数据时，如果不更新索引，那可能出现某2个索引结点之间数据非常多的情况。极端情况下，跳表会退化成单链表。

 

可以通过一个随机函数，来决定将这个结点插入到哪几级索引中，比如随机函数生成了值K，那就将这个结点添加到第一级到第K级这个K级索引中。

 

代码实现 

    public class AdvancedSkipList
    {
        /// <summary>
        /// 最大索引层级
        /// </summary>
        private static readonly int MAX_LEVEL = 16;

        /// <summary>
        /// 索引层级
        /// </summary>
        private int levelCount = 1;

        /**
         * 带头链表
         */
        private Node head = new Node(MAX_LEVEL);

        private Random random = new Random();

        public Node Find(int value)
        {
            Node p = head;
            // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
            for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i)
            {
                while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value)
                {
                    // 找到前一节点
                    p = p.forwards[i];
                }
            }

            // 0层表示原始数据层，判断是否查找的value
            if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value)
            {
                return p.forwards[0];
            }
            else
            {
                return null;
            }
        }

        /**
         * 插入方法
         */
        public void Insert(int value)
        {
            int level = head.forwards[0] == null ? 1 : RandomLevel();
            // 每次只增加一层，如果条件满足
            if (level > levelCount)
            {
                level = ++levelCount;
            }
            Node newNode = new Node(level);
            newNode.data = value;
            //newNode.maxLevel = level;
            Node[] update = new Node[level];
            for (int i = 0; i < level; i++)
            {
                update[i] = head;
            }

            // 记录每个索引层小于value的最大值结点
            Node p = head;
            for (int i = level - 1; i >= 0; --i)
            {
                while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value)
                {
                    p = p.forwards[i];
                }
                // levelCount会 > level，所以加上判断
                if (level > i)
                {
                    update[i] = p; // use update save node in search path
                }
            }

            // in search path node next node become new node forwords(next)
            for (int i = 0; i < level; ++i)
            {
                newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
                update[i].forwards[i] = newNode;
            }

            //// update node hight
            //if (levelCount < level) levelCount = level;
        }

        public void Insert2(int value)
        {
            int level = head.forwards[0] == null ? 1 : RandomLevel();
            // 每次只增加一层，如果条件满足
            if (level > levelCount)
            {
                level = ++levelCount;
            }
            Node newNode = new Node(level);
            newNode.data = value;
            Node p = head;
            // 从最大层开始查找，找到前一节点，通过--i，移动到下层再开始查找
            for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i)
            {
                while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value)
                {
                    // 找到前一节点
                    p = p.forwards[i];
                }
                // levelCount 会 > level，所以加上判断
                if (level > i)
                {
                    if (p.forwards[i] == null)
                    {
                        p.forwards[i] = newNode;
                    }
                    else
                    {
                        Node next = p.forwards[i];
                        p.forwards[i] = newNode;
                        newNode.forwards[i] = next;
                    }
                }

            }
        }

        /**
         * 作者zheng的插入方法，未优化前，优化后参见上面insert()
         *
         * @param value
         * @param level 0 表示随机层数，不为0，表示指定层数，指定层数
         *              可以让每次打印结果不变动，这里是为了便于学习理解
         */
        public void Insert(int value, int level) {
            // 随机一个层数
            if (level == 0) {
                level = RandomLevel();
            }
            // 创建新节点
            Node newNode = new Node(level);
            newNode.data = value;
            // 表示从最大层到低层，都要有节点数据
            newNode.maxLevel = level;
            // 记录要更新的层数，表示新节点要更新到哪几层
            Node[] update = new Node[level];
            for (int i = 0; i < level; ++i) {
                update[i] = head;
            }

            /**
             *
             * 1，说明：层是从下到上的，这里最下层编号是0，最上层编号是15
             * 2，这里没有从已有数据最大层（编号最大）开始找，（而是随机层的最大层）导致有些问题。
             *    如果数据量为1亿，随机level=1 ，那么插入时间复杂度为O（n）
             */
            Node p = head;
            for (int i = level - 1; i >= 0; --i) {
                while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value) {
                    p = p.forwards[i];
                }
                // 这里update[i]表示当前层节点的前一节点，因为要找到前一节点，才好插入数据
                update[i] = p;
            }

            // 将每一层节点和后面节点关联
            for (int i = 0; i < level; ++i) {
                // 记录当前层节点后面节点指针
                newNode.forwards[i] = update[i].forwards[i];
                // 前一个节点的指针，指向当前节点
                update[i].forwards[i] = newNode;
            }

            // 更新层高
            if (levelCount < level) levelCount = level;
        }

        public void Delete(int value)
        {
            Node[] update = new Node[levelCount];
            Node p = head;
            for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i)
            {
                while (p.forwards[i] != null && p.forwards[i].data < value)
                {
                    p = p.forwards[i];
                }

                update[i] = p;
            }

            if (p.forwards[0] != null && p.forwards[0].data == value)
            {
                for (int i = levelCount - 1; i >= 0; --i)
                {
                    if (update[i].forwards[i] != null && update[i].forwards[i].data == value)
                    {
                        update[i].forwards[i] = update[i].forwards[i].forwards[i];
                    }
                }
            }

            //while (levelCount > 1 && head.forwards[levelCount] == null)
            //{
            //    levelCount--;
            //}
        }

        /**
         * 随机 level 次，如果是奇数层数 +1，防止伪随机
         */
        private int RandomLevel()
        {
            int level = 1;

            for (int i = 1; i < MAX_LEVEL; ++i)
            {
                if (random.Next() % 2 == 1)
                {
                    level++;
                }
            }

            return level;
        }

        public void PrintAll()
        {
            Node p = head;
            while (p.forwards[0] != null)
            {
                Console.Write(p.forwards[0] + " ");
                p = p.forwards[0];
            }
            Console.WriteLine();
        }

        /**
         * 打印所有数据
         */
        public void PrintAll_Beautiful()
        {
            Node p = head;
            Node[] c = p.forwards;
            Node[] d = c;
            int maxLevel = c.Length;
            for (int i = maxLevel - 1; i >= 0; i--)
            {
                do
                {
                    Console.Write((d[i] != null ? d[i].data.ToString() : null) + ":" + i + "-------");
                } while (d[i] != null && (d = d[i].forwards)[i] != null);
                Console.WriteLine();
                d = c;
            }
        }

        /**
        * 跳表的节点，每个节点记录了当前节点数据和所在层数数据
        **/
        public class Node
        {
            public int data = -1;

            /**
            * 表示当前节点位置的下一个节点所有层的数据，从上层切换到下层，就是数组下标-1，
            * forwards[3]表示当前节点在第三层的下一个节点。
            **/
            public Node[] forwards;

            public int maxLevel = 0;

            public Node(int level)
            {
                forwards = new Node[level];
            }

            public override string ToString()
            {
                StringBuilder builder = new StringBuilder();
                builder.Append("{ data: ");
                builder.Append(data);
                builder.Append("; levels: ");
                builder.Append(maxLevel);
                builder.Append(" }");

                return builder.ToString();
            }
        }
    }