contest20191023

slz的题 KCN

雨中的晴天

宫水三叶生活的城市是一个一维平面上的城市。三叶喜欢用一个长度为n的线段来表示这座城市。线段上（包含端点）平均分布着 $n+1$ 个点，其中第 $i$ 个点到第 $i+1$ 个点视为第 $i$ 个区。

最近，这座城市不断的下雨，一直没有放晴，所有人都在期待的晴天。不同的区对晴天的渴望度不一样。三叶通过统计，将第 $i$ 个区的人对晴天的渴望度形式化成 $s_i$ 。

终于，这座城市迎来了久违的晴天。但是晴天的范围没有覆盖整个城市，而是从 $n+1$ 个点中的某一个出发，向往扩散 $d$ 个区。

在晴天下的人们非常开心。形式化的，如果第 $i$ 个区在晴天的覆盖范围内，并且和晴天中心还隔着 $x$ 个区，那么这个区的人的开心值为 $(d-x)^2 cdot s_i$ 。这个城市的开心值为每一个区的开心值之和。

虽然晴天的地点已经固定了，但是三叶还是想知道如果晴天的地点可以任选，那么最后城市的开心值最大是多少？

sol

有两段，可以分开考虑

每一段形如$  s_i imes 1+s_{i+1} imes 4+s_{i+2} imes 9+...+s_{i+d-1} imes d^2 $

往前移动时，更新的值与原来的值差形如 $ sum 2 imes (i+x) imes s_i$ x为常数

预处理维护即可。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 2000006
#define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar())))
#define ll long long
using namespace std;
ll n,s[maxn],d;
ll sum[maxn],s1[maxn],s2[maxn],a1,a2,ans,S,T;
ll R(){
    ll v,f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=-1;
    v=(ch^48);_()v=(v<<1)+(v<<3)+(ch^48);
    return v*f;
}
int main()
{
    n=R();d=R();
    for(ll i=d+1;i<=d+n;i++)s[i]=R();
    n=n+d+d;
    for(ll i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+s[i],s1[i]=s1[i-1]+1LL*i*s[i];
    for(ll i=n;i>=1;i--)s2[i]=s2[i+1]+1LL*(n-i+1)*s[i];
    for(ll i=1;i<=d;i++)a1+=s[i]*i*i;
    for(ll i=d+1,j=d;i<=d+d;i++,j--)a2+=s[i]*j*j;
    ans=max(ans,a1+a2);
    for(ll i=2;i<=n-d-d;i++){
        ll m=i+d-1;
        a1=a1-s[i-1]+s[m]*d*d;
        S=sum[m-1]-sum[i-1];
        T=(s1[m-1]-s1[i-1])-(i-1)*S;
        a1=a1-S-2*T;
        
        a2=a2-s[m]*d*d+s[m+d];
        S=sum[m+d-1]-sum[m];
        T=(s2[m+1]-s2[m+d])-S*(n-m-d+1);
        a2=a2+S+2*T;
        ans=max(ans,a1+a2);
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

燃烧的火焰

宫水三叶擅长手工，她自己编织了一张网。

这张网可以用一个 $n$ 个点 $m$ 条边的连通图来表示，每一条边都有长度。

但是这张网毕竟是可燃物。某一天，网上的 $k$ 个节点在 $0$ 时刻突然同时被点燃了，火焰以单位速度沿着边向外扩散。具体来说，如果有一条长度为 $l$ 的边连接着点 $x,y$ ，假设第 $i$个 时刻 $x$ 节点被点燃了，那么在 $i+l$ 的时刻 $y$ 节点也会被点燃。反之也是成立的。

如果整张图的 $n$ 个节点全部被点燃了，那么就认为这张图完全被点燃了。

既然着火了，那么首要任务就是救火。三叶请小`H`来帮忙。在 $0$ 时刻时，小`H`随机选择了若干个已经被点燃的点，将它们扑灭。但是，小`H`扑灭了那些点后并没有使整张图完全被点燃的时间推晚！

三叶觉得小`H`运气太差了，于是她想知道这个事件的概率。

形式化的说，小`H`有 $2^k$ 种灭火方案（包含一个都不选）。假设小`H`随机从中选一种，有多少概率选到的灭火方案没能使整张图完全被点燃的时间推晚。

假设在没有灭火时整张图完全被点燃从时刻 $a$ 开始，灭火后整张图完全被点燃从时刻 $b$ 开始，而没能使整张图完全被点燃的时间推晚的方案当且仅当 $a=b$ 。

sol

多源最短路求出每一个点到任意一个着火点的最短距离，即为该点被点燃的时间。

记所有被点燃的最晚时间为Max

考虑一个非法方案，该方案一定会把到某点距离小于等于Max的着火点全部扑灭。

那么可以得到点集S，S的所有超集都是非法方案。

考虑dp f[S]|=f[S-(1<<i)] 

效率2^n*n+nlogn

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define maxn 100005
#define inf 1e16
#define ll long long 
#define mod 998244353
using namespace std;
int n,m,num,s[22],f[1<<22],head[maxn],tot;
int flag[maxn];
ll d[maxn],dis[maxn][22],M[maxn],Max,ans;
struct node{
    int v,w,nex;
}e[maxn*4];
struct no{
    int x;ll dist;
};
bool operator <(no A,no B){return A.dist>B.dist;}
void add(int t1,int t2,int t3){
    e[++tot].v=t2;e[tot].w=t3;e[tot].nex=head[t1];head[t1]=tot;    
}
void dij(int S,int id){
    priority_queue<no>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)d[i]=inf,flag[i]=0;
    q.push((no){S,0});d[S]=0;
    while(!q.empty()){
        no k=q.top();q.pop();
        if(flag[k.x])continue;
        flag[k.x]=1;
        for(int i=head[k.x];i;i=e[i].nex){
            if(d[e[i].v]>d[k.x]+e[i].w){
                d[e[i].v]=d[k.x]+e[i].w;
                q.push((no){e[i].v,d[e[i].v]});
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)dis[i][id]=d[i],M[i]=min(M[i],d[i]);
}
ll work(ll a,ll N){
    ll A=1;for(;N;N>>=1,a=a*a%mod)if(N&1)A=A*a%mod;return A;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&num);
    for(int i=1;i<=num;i++)scanf("%d",&s[i]);
    for(int i=1,t1,t2,t3;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
        add(t1,t2,t3);add(t2,t1,t3);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)M[i]=inf;
    for(int i=1;i<=num;i++)dij(s[i],i);
    for(int i=1;i<=n;i++)Max=max(Max,M[i]);
    int Al=(1<<num)-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int t=0;
        for(int j=1;j<=num;j++){
            if(dis[i][j]<=Max)t|=(1<<(j-1));
        }
        int S=(Al^t);
        f[S]=1;
    }
    for(int i=Al;i;i--){
        for(int j=1;j<=num;j++){
            f[i]|=f[i|(1<<(j-1))];
        }
    }
    for(int i=1;i<=Al;i++)ans+=f[i];
    ans++;
    ll A=work(work(2,num),mod-2);
    ans=ans*A%mod;ans=(1-ans+mod)%mod;

    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}