NOIP2007 树网的核

4. 树网的核

(core.pas/c/cpp)

【问题描述】

设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我

们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有 n 个结点。 

路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。

一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离：

d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。

树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，

但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。

偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即

ECC(F) = max{d(v,F),  vV}。

任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径

（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们

称这个路径为树网 T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F 可以退化为某个结点。一般来说，在上

述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。

下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B 与 A-C 是两条直径，长度均为 20。点 W 是树网的中心，EF 边的长度为 5。如果指定 s=11，则树网的核为路径 DEFG（也可以取为路径 DEF），偏心距为 8。如果指定 s=0（或 s=1、s=2），则树网的核为结点 F，偏心距为 12。

 

【输入】

    输入文件core.in包含 n 行_：

第 1 行，两个正整数 n 和 s，中间用一个空格隔开。其中 n 为树网结点的个数，s 为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为 1, 2, ..., n。

从第 2 行到第 n 行，每行给出 3 个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点 2 与 4 的边的长度为 7。 所给的数据都是正确的，不必检验。

【输出】

  输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。 

【输入输出样例1】

core.in	core.out
5 2 1     2 5 2     3 2 2 4 4 2 5 3	5

【输入输出样例2】

core.in	core.out
8 6 1     3 2 2     3 2 3     4 6 4     5 3 4 6 4 4 7 2 7 8 3	5

【限制】

    40%的数据满足：5<=n<=15

    70%的数据满足：5<=n<=80

    100%的数据满足：5<=n<=300, 0<=s<=1000。_{边长度为不超过} 1000 的正_整数

【思路】

  Floyd+枚举。

  Floyd求出多源最短路。则树的直径可以通过枚举求出。则知直径的两个端点maxi,maxj，由此可知对于一个点k，如果满足d[maxi][k]+d[k][maxj]==d[maxi][maxj]那么k点一定在直径上。分别枚举位于直径上的起点s与终点t。因为Ecg定义为max{d(v,F)}那么枚举出的线段的ecc一定为：

    max{min{d[maxi][s],d[maxi][t]},min{d[maxj][s],d[maxj][t]}};

  因为 maxi与maxj到线段的距离的最大值 一定是最大的否则maxi-maxj就不是直径。

  比较得最小ecc即可。

 时间： floyd O(n^3) 求端点 O(n^2) 求ans O(n^2)

【代码】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<(c);a++)
using namespace std;

const int maxn = 300+10;
const int INF=1<<30;
int nodes[maxn],nodes_n;
int d[maxn][maxn];
int ans,n,S;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>S; 
    FOR(i,1,n+1) FOR(j,1,n+1) 
      if(i!=j) d[i][j]=INF;
    int u,v,w;
    FOR(i,0,n-1) {
        cin>>u>>v>>w;
        d[v][u]=d[u][v]=w;
    }
    // floyd
    FOR(k,1,n+1)
      FOR(i,1,n+1)
        FOR(j,1,n+1) 
            if(d[i][k]<INF && d[k][j]<INF)
              d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
    int _max=0,maxi,maxj;  //找直径 
    FOR(i,1,n+1) FOR(j,1,n+1)
      if(d[i][j]<INF && d[i][j]>_max) {
          _max=d[i][j];
          maxi=i; maxj=j;
      }
    ans=INF;
    FOR(i,1,n+1) if(d[maxi][i]+d[maxj][i]==d[maxi][maxj])
      FOR(j,1,n+1) if(d[maxi][j]+d[maxj][j]==d[maxi][maxj]){
          if(d[i][j] > S) continue;  //直径上 长度<=S 的一段 
          int ecg;
          ecg=max(min(d[i][maxi],d[j][maxi]),min(d[maxj][i],d[maxj][j]));
          ans=min(ans,ecg);
      }
    cout<<ans;
    return 0;
}