4. 树网的核
(core.pas/c/cpp)
【问题描述】
设T=(V, E, W) 是一个无圈且连通的无向图（也称为无根树），每条边带有正整数的权，我
们称T为树网（treenetwork），其中V, E分别表示结点与边的集合，W表示各边长度的集合，并设T有 n 个结点。
路径：树网中任何两结点a,b都存在唯一的一条简单路径，用d(a,b)表示以a,b为端点的路径的长度，它是该路径上各边长度之和。我们称d(a,b)为a,b两结点间的距离。
一点v到一条路径P的距离为该点与P上的最近的结点的距离：
d(v，P)=min{d(v，u)，u为路径P上的结点}。
树网的直径：树网中最长的路径称为树网的直径。对于给定的树网T，直径不一定是唯一的，
但可以证明：各直径的中点（不一定恰好是某个结点，可能在某条边的内部）是唯一的，我们称该点为树网的中心。
偏心距ECC(F)：树网T中距路径F最远的结点到路径F的距离，即
ECC(F) = max{d(v,F), vV}。
任务：对于给定的树网T=(V, E,W)和非负整数s，求一个路径F，它是某直径上的一段路径
（该路径两端均为树网中的结点），其长度不超过s（可以等于s），使偏心距ECC(F)最小。我们
称这个路径为树网 T=(V,E,W)的核（Core）。必要时，F 可以退化为某个结点。一般来说，在上
述定义下，核不一定只有一个，但最小偏心距是唯一的。
下面的图给出了树网的一个实例。图中，A-B 与 A-C 是两条直径，长度均为 20。点 W 是树网的中心，EF 边的长度为 5。如果指定 s=11，则树网的核为路径 DEFG（也可以取为路径 DEF），偏心距为 8。如果指定 s=0（或 s=1、s=2），则树网的核为结点 F，偏心距为 12。
【输入】
输入文件core.in包含 n 行：
第 1 行，两个正整数 n 和 s，中间用一个空格隔开。其中 n 为树网结点的个数，s 为树网的核的长度的上界。设结点编号依次为 1, 2, ..., n。
从第 2 行到第 n 行，每行给出 3 个用空格隔开的正整数，依次表示每一条边的两个端点编号和长度。例如，“2 4 7”表示连接结点 2 与 4 的边的长度为 7。 所给的数据都是正确的，不必检验。
【输出】
输出文件core.out只有一个非负整数，为指定意义下的最小偏心距。
【输入输出样例1】
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core.in |
core.out |
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5 2 1 2 5 2 3 2 2 4 4 2 5 3 |
5 |
【输入输出样例2】
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core.in |
core.out |
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8 6 1 3 2 2 3 2 3 4 6 4 5 3 4 6 4 4 7 2 7 8 3 |
5 |
【限制】
40%的数据满足：5<=n<=15
70%的数据满足：5<=n<=80
100%的数据满足：5<=n<=300, 0<=s<=1000。边长度为不超过 1000 的正整数
【思路】
Floyd+枚举。
Floyd求出多源最短路。则树的直径可以通过枚举求出。则知直径的两个端点maxi,maxj，由此可知对于一个点k，如果满足d[maxi][k]+d[k][maxj]==d[maxi][maxj]那么k点一定在直径上。分别枚举位于直径上的起点s与终点t。因为Ecg定义为max{d(v,F)}那么枚举出的线段的ecc一定为：
max{min{d[maxi][s],d[maxi][t]},min{d[maxj][s],d[maxj][t]}};
因为 maxi与maxj到线段的距离的最大值 一定是最大的否则maxi-maxj就不是直径。
比较得最小ecc即可。
时间： floyd O(n^3) 求端点 O(n^2) 求ans O(n^2)
【代码】
1 #include<iostream> 2 #include<cstring> 3 #include<algorithm> 4 #define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<(c);a++) 5 using namespace std; 6 7 const int maxn = 300+10; 8 const int INF=1<<30; 9 int nodes[maxn],nodes_n; 10 int d[maxn][maxn]; 11 int ans,n,S; 12 13 int main() { 14 ios::sync_with_stdio(false); 15 cin>>n>>S; 16 FOR(i,1,n+1) FOR(j,1,n+1) 17 if(i!=j) d[i][j]=INF; 18 int u,v,w; 19 FOR(i,0,n-1) { 20 cin>>u>>v>>w; 21 d[v][u]=d[u][v]=w; 22 } 23 // floyd 24 FOR(k,1,n+1) 25 FOR(i,1,n+1) 26 FOR(j,1,n+1) 27 if(d[i][k]<INF && d[k][j]<INF) 28 d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]); 29 int _max=0,maxi,maxj; //找直径 30 FOR(i,1,n+1) FOR(j,1,n+1) 31 if(d[i][j]<INF && d[i][j]>_max) { 32 _max=d[i][j]; 33 maxi=i; maxj=j; 34 } 35 ans=INF; 36 FOR(i,1,n+1) if(d[maxi][i]+d[maxj][i]==d[maxi][maxj]) 37 FOR(j,1,n+1) if(d[maxi][j]+d[maxj][j]==d[maxi][maxj]){ 38 if(d[i][j] > S) continue; //直径上 长度<=S 的一段 39 int ecg; 40 ecg=max(min(d[i][maxi],d[j][maxi]),min(d[maxj][i],d[maxj][j])); 41 ans=min(ans,ecg); 42 } 43 cout<<ans; 44 return 0; 45 }