扩展欧几里得

定义

就是如何求得 (ax + by = d) 的一个解, (d = (a, b))

做法

考虑使用欧几里得算法的思想, 令 (a = bq + r), 其中 (r = a mod b)
递归求出 (bx + ry = d) 的一个解
设求出 (bx + ry = d) 的一个解为 (x = x_0, y = y_0)
将 (a = bq + r) 带入 (ax + by = d) 得
(b(qx + y) + rx = d)
令 (qx+y = x_0, x = y_0), 则上式成立
故 (x = y_0, y = x_0 - qy_0) 为 (ax + by = d) 的解
递归的边界: (b = 0) 时, 令 (x = 1, y = 0).

code

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return ;
	}
	int q = a / b, r = a % b;
	exgcd(b, r, y, x);
	y -= q * x;
}

求得所有解

先用 (exgcd) 求出任意一个解 (x = x_0, y = y_0)
再求出 (ax + by = 0) 的最小的解
(x = d_x = dfrac{b}{(a, b)}, y = d_y = -dfrac{a}{(a, b)})
所有解就是 (x = x_0 + kd_x, y = y_0 + kd_y, k in Z)

证明

我们可以设 (a > b)
((1)) 当 (b = 0), (gcd(a, b) = 0). 此时 (x = 1, y = 0);
((2)) 当 (ab eq 0) 时
设 (ax + by = gcd(a, b));
(bx_0+( a mod b) y_0 = gcd(b, a mod b))
根据欧几里得算法有 (gcd(a, b) = gcd(b, a mod b));
则: (ax + by = bx_0 + (a mod b) y_0)
即: (ax + by = bx_0 + (a - lfloor{dfrac{a}{b}} floor * b)y_0 = ay_0 + bx_0 - lfloor{dfrac{a}{b}} floor*by_0)
根据恒等定理得: (x = y_0, y = x_0 - lfloor{dfrac{a}{b}} floor * y_0);
这样我们就得到了求解 (x,y) 的方法: (x.y) 的值基于 (x_0,y_0).