zgg与占卜师

题目大意

 

给出一个整数$n$的标准分解，求经过多少次$n=phi(n)$操作后，可以使$n=1$。标准分解式中，质数$P le 10^5$，次数$t le 10^9$。多组数据，最后再输出所有答案中的最大值。

 

分析

 

欧拉函数的公式：$phi(n)=sum P_i^{t_i-1}cdot(P_i-1)$，其中$P_i$、$t_i$为标准分解后得到的质因数和对应的次数。

 

根据欧拉函数的公式可以发现，每次进行$n=phi(n)$的操作后，所有的质数$P$的次数都减去$1$，然后又多出来$(P-1)$的质因数。而一旦$n$变为$1$，仅当质因数$P$仅有$2$。

 

因为所有的质因数结果不断地操作，最后都要通过$2$这个媒介再变为$1$，且这个过程中$2$的个数必然大于$0$（因为每次必有一个$P$变为$P-1$，而当$P$不为$2$时，$P-1$必然包含$2$这个因子）。

 

由于其它质因数变化是和$2$的变化同时进行的，且$2$的变化贯穿这个过程（若原本的$n$包含$2$这个质因子时），而每次操作$2$的次数减一，所以将其它的质数都拆解成2，最后$2$的次数便是答案。

 

若原本的$n$不包含$2$这个质因子，则第一次操作时$2$的次数不减少（都是$0$），而后面的操作与前面一样，故答案为$2$的次数加一。

 

实现

 

根据分析，可以知道最重要的东西是一个数可以拆解为多少个$2$，对此我们假设要拆解的数为$x$，对$x$进行分类讨论。

 

• 当$x$为偶数时，$x$可拆解出的$2$的个数为$frac{x}{2}$拆解出的$2$的个数加一。

 

• 当$x$为奇数时，$x$中不含有$2$这个质因子，所以$phi(x)$相对$x$而言拆解出的$2$的个数不减少，所以$x$可拆解出的$2$的个数为$phi(x)$拆解出的$2$的个数。

 

对于任意一个数$x$，都由小于$x$的数贡献答案，所以递推求就好了。

 

代码：

#include <cstdio>

int f[100010], phi[100010], two[100010];
int test, n, a, b, flag;
long long ans, maxans;

int main()
{
    for (int i = 2; i < 100000; i++)
    {
        if (f[i]) continue;
        phi[i] = i - 1;
        for (int j = i + i; j < 100000; j += i)
        {
            f[j] = 1;
            if (phi[j] == 0) phi[j] = j;
            phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
        }
    }
    for (int i = 2; i < 100000; i++)
    {
        if (i % 2 == 0) two[i] = two[i / 2] + 1;
        else two[i] = two[phi[i]];
    }
    scanf("%d", &test);
    maxans = 0;
    while (test--)
    {
        scanf("%d", &n);
        ans = flag = 0;
        while (n--)
        {
            scanf("%d %d", &a, &b);
            if (a == 2) flag = 1;
            ans += (long long) two[a] * b;
        }
        ans = ans - flag + 1;
        printf("%lld
", ans);
        if (ans > maxans) maxans = ans;
    }
    printf("%lld", maxans);
}