【现代程序设计】【Homework01】

1维的最大子数组之和

对于1维的最大子数组之和

假设f[i]表示：对于1..i这个序列中，包含i这个元素的最大序列的值

则对于f[i],0<i<=n;

应该有

f[i]=max(a[i],f[i-1]+a[i]);

 f[1]=a[1];

 

由此一维的问题即可解决

 

时间复杂度：O(n)；

空间复杂度：O(n)；

2维的最大子数组之和

 

为了叙述的方便，在此我们先约定，输入的矩阵为P，行和列值分别约定为m,n

 

对于2维数组，我们虽然无法直接使用1维中的动态规划的思路

但是，如果我们可以把一整行看做一个元素

按照1维的思路，我们就可以得到一个最大的m*x的矩阵A，0<x<n

显然A不一定是最后的答案，因为矩阵A的行值被我们限定为了m

所以我们需要枚举m，即m←1..m

 

之后要做的就很简单了

 

枚举行值等于m，列值恒定为n的所有矩阵D，并找出D中的最大子矩阵E

对于所有的E，max（E）就是最后的答案

 

 

时间复杂度=T[求1维最大子数组]*T[枚举矩阵]*T[计算矩阵每一行的值]

 

前者已知为O(n)

枚举矩阵则需要一个二重的循环，即为O(n^2)

对于计算矩阵D中没一行的值

我们可以进行预处理

假设D在P中的位置为：第x列→第y列

如果我们用一个数组g[i][j]表示：第i行的1..j列的元素之和为g[i][j]；

则对于D中的每一行的和应该为g[i][y]-g[i][x],(0<i<=m)

每次计算的复杂度为O(1)

 

所以总的时间复杂度为：O(N^3)

空间复杂度：

主要用于存储P,D,E

为：O(n^2);

 

 

 

 

 

曲面2维的最大子数组之和

曲面和平面最本质的区别就是：边缘的连续问题

所以我们只需要增加3个矩阵P1，P2，P3,排列为：

P       P1

P2     P3

求解其中和最大的子矩阵E即可

但对于E，行列值均应分别小于m,n;

 时间空间复杂度均和2维平面最大子数组之后的复杂度相同

时间复杂度：O(n^3)；

空间复杂度：O(n^2)；

以下是作业所需要包含的必要的东西

开发时间：30min

效率：不知道该如何描述

心得：第一次写Blog，把自己所想的准确的表达出来，也不是想象中那么简单

截图：这是一个在线OJ的评测截图，因为有个题目和这个一样，所以我就偷了个懒，没有自己写测试数据  : ]

下面是二维平面最大子数组的源码，由于比较简短，我也就没有做过多的注释

如果有不明白或者觉得本人写的代码不够简洁或者有误，也欢迎各位留言

 1 #include<stdio.h>
 2 #define M 100
 3 #define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
 4 
 5 
 6 
 7 /*
 8 
 9 由于比较懒，在此我先预处理了P的所有子矩阵的,每一行的值
10 
11 所以开销为O(n^3)
12 
13 但此算法的空间复杂度是可以为o(n^2)的
14 
15 但需要每次初始化一下数组的值
16 
17 所以我就比较懒的开了个O(n^3)的复杂度  : ]
18 
19 */
20 
21 int f[M][M][M],g[M][M][M],a[M][M],i,j,k,l,n,m;
22 
23 main()
24 {
25     //输入
26     scanf("%d%d",&m,&n);
27     for(i=0;i<m;i++)
28     for(j=0;j<n;j++)
29         scanf("%d",a[i]+j);
30     
31 
32     //预处理矩阵每一行的值
33     for(i=0;i<m;i++)
34     for(j=0;j<n;j++)
35     for(k=j;k>=0;k--)
36         g[i][j][k]=g[i][j][k+1]+a[i][k];
37     
38     
39     //C中，防止指针值越界，而提前处理初值
40     for(i=0;i<n;i++)
41     for(j=0;j<=i;j++){
42         f[0][j][i]=g[0][j][i];
43         l=max(l,f[0][i][j]);
44     }
45     
46 
47     //求解过程
48     for(i=1;i<m;i++)
49     for(j=0;j<n;j++)
50     for(k=0;k<=j;k++){
51         f[i][j][k]=max(g[i][j][k],f[i-1][j][k]+g[i][j][k]);
52         l=max(l,f[i][j][k]);
53     }
54     
55     printf("%d",l);
56 
57 }