逆序对

求一个序列的逆序对

1.树状数组

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxm=5e5+7;
int n;
ll ans;
int a[maxm],book[maxm];
int c[maxm];
int lowbit(int x)
{
 return x&(-x);	
}
void add(int x)
{
 for(;x<=n;x+=lowbit(x))
 c[x]++;	
}
int ask(int x)
{
 int ans=0;
 for(;x;x-=lowbit(x))
 ans+=c[x];
 return ans;	
}
int main()
{
 scanf("%d",&n);
 for(int i=1;i<=n;i++)
 scanf("%d",a+i),book[i]=a[i];
 sort(book+1,book+n+1);
 int l=unique(book+1,book+n+1)-book-1;
 for(int i=1;i<=n;i++)
 {
  a[i]=lower_bound(book+1,book+l+1,a[i])-book;
  ans+=ask(n)-ask(a[i]);
  add(a[i]);
 }
 printf("%lld
",ans);
 return 0;	
}

2.归并排序

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxm=5e5+7;
int n;
ll ans;
int a[maxm],w[maxm];
void gb(int l,int r)
{
 if(l==r) return;
 int mid=(l+r)>>1;
 gb(l,mid);
 gb(mid+1,r);
 int s=l,t=mid+1,k=l;
 while(s<=mid&&t<=r)
 {
   if(a[s]<=a[t])
   {
   	 w[k]=a[s];
   	 k++;
   	 s++;
   }
   else
   {
   	 w[k]=a[t];
   	 k++;
   	 t++;
   	 ans+=mid-s+1;
   }
 }
 while(s<=mid)
 w[k++]=a[s++]; 
 while(t<=r)
 w[k++]=a[t++];
 for(int i=l;i<=r;i++)
 a[i]=w[i];
}
int main()
{
 scanf("%d",&n);
 for(int i=1;i<=n;i++)
 scanf("%d",a+i);
 gb(1,n);
 printf("%lld
",ans);
 return 0;	
}

关于逆序对的DP

1.求逆序对

考虑(dp[i][j])表示前(i)个数构成的逆序对为(j)个的方案数,考虑每次把(i)加进来,可以贡献[0,i-1]的逆序对。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=1e4;
int n,k;
int dp[110][11000]; 
int main()
{
 scanf("%d%d",&n,&k);
 dp[0][0]=1;
 dp[1][0]=1;
 dp[2][0]=1;
 dp[2][1]=1;
 for(int i=3;i<=n;i++)
 {
  for(int j=0;j<=k;j++)
  {
   for(int kk=0;kk<=i-1&&j-kk>=0;kk++)
   dp[i][j]=(dp[i][j]+dp[i-1][j-kk])%mo;
  }
 }
 printf("%d
",dp[n][k]);
 return 0;	
}

2.逆序对数列

考虑优化上面的dp,其实dp转移可以写成(egin{aligned}{} f[i][j]=sum_{k=max(0,j-i+1)}^{j}f[i-1][k]end{aligned})，所以我们用前缀和优化dp。

我们开一个变量(egin{aligned}sum=sum_{k=max(0,j-i+1)}^jf[i][k]end{aligned})，每次让(f[i][k]=sum)即可。

但当(j-i+1>=0)时要再最后删掉(dp[i-1][j-i+1])的值,因为他不提供贡献。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=1e4;
int n,k; 
int dp[1007][1007];
int main()
{
 scanf("%d%d",&n,&k);
 dp[0][0]=1;
 dp[1][0]=1;
 for(int i=2;i<=n;i++)
 {
 	int sum=0;
   for(int j=0;j<=k;j++)
   {
   	 sum=(sum+dp[i-1][j])%mo;
   	 dp[i][j]=sum;
   	 if(j-i+1>=0)
   	 {
   	    sum=(sum-dp[i-1][j-i+1]+mo)%mo;	
   	 }
   }
 }
 printf("%d
",dp[n][k]);
 return 0;	
}

NOIP的逆序对

火柴排序

满分作法：我们发现，当上下两序列中的对应第几大的数在一起时，总和最小。开一个结构体体记录大小和位置，进行排序，这样可以得到两个编号序列，我们定一个序列不动(假设为A)。

记录一个q[b[i]]表示B序列的第i个数的位置应在q[i],此题可知转化为求q数组的逆序对。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxm=1e5+7;
const int mo=99999997;
struct node
{
  int id,w;
}a[maxm],b[maxm];
int n;
ll ans=0;
int c[maxm];
int p[maxm];
bool cmp(node a,node b)
{
	return a.w<b.w;
}
int lowbit(int x)
{
 return x&(-x);	
}
void add(int x)
{
 for(;x<=n;x+=lowbit(x))
 c[x]+=1;
}
int ask(int x)
{
 int sum=0;
 for(;x;x-=lowbit(x))
 sum+=c[x];
 return sum; 
}
int main()
{
 scanf("%d",&n);
 for(int i=1;i<=n;i++)
 scanf("%d",&a[i].w),a[i].id=i;
 for(int i=1;i<=n;i++)
 scanf("%d",&b[i].w),b[i].id=i;
 sort(a+1,a+n+1,cmp);
 sort(b+1,b+n+1,cmp);
 for(int i=1;i<=n;i++)
 {
  p[b[i].id]=a[i].id;
 }
 for(int i=1;i<=n;i++)
 { 
   ans=(ans+(ask(n)-ask(p[i])+mo)%mo)%mo;
   add(p[i]);
 }
 printf("%lld
",ans);
 return 0;	
}