KMP学习笔记

这是一个比较难以理解的算法，但是理解之后可以跑的飞快~

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好的讲正题：

首先考虑这样一个问题：已知两个字符串s1,s2，s2是s1的子串，统计s2在s1中出现的次数。s1长度为n，s2长度为m。

如果单纯考虑暴力的话，有这样的算法，枚举s1的每一位，以这一位为起点往下枚举s2匹配，之后再枚举s1的下一位。一个显然的事实是这个算法对s1每一位都匹配了m次，因此总复杂度为O(n * m)。

复杂度显然不行，于是KMP算法就出现了。KMP本质就是对这个暴力算法进行优化，利用每次匹配失败的信息优化匹配，这样就不必从s2的第一位开始枚举，而是从前一位匹配上的位置进行继续匹配，因此时间复杂度为O(n + m)。

优化的关键在于维护一个nxt数组，nxt[i]表示s2在0~i位之间，后缀集合和前缀集合的交集的最大子串长度，也就是那个最大的前缀子串的最后一位。首先解释一下后缀集合和前缀集合，举个例子，对于字符串“ababqwq”来说，它的前缀集合就是{"a","ab","aba","abab","ababq","ababqw"}，后缀集合就是{"q","wq","qwq","bqwq",abqwq","babqwq"}，注意前后缀均不包括字符串本身。然后我们就可以开始求nxt数组了。

nxt[0]和nxt[1]显然都是0，这个是初始化。然后我们分情况讨论一下，假设到第i位，第i-1位和第nxt[i - 1]位匹配上，问题的关键就在于nxt[i - 1] + 1位和第i位是否匹配，如果匹配那么nxt[i]就是nxt[i - 1] + 1，否则就往下找，继续找nxt[nxt[i - 1]] + 1和i是否匹配，因为要保证前面的始终匹配上。这样不断找下去总能找到nxt[i]的值，这样我们就用O(m）的复杂度线性维护了nxt数组。

之后再匹配s1就好办多了，枚举s1的每一位再枚举s2，如果没有匹配上则直接从nxt数组取出对应值向下继续匹配，我们没有回到s2开始匹配，一直线性处理，因此这时复杂度为O(n)。

所以总复杂度为O(n + m)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define B cout << "Break" << endl;
#define N 1000010
using namespace std;
int nxt[N];
char s[N],s2[N];
int ls,ls2;
void pre_nxt()
{
    nxt[1] = 0;
    for(int i = 2;i <= ls2;i++)
    {
        int t = nxt[i - 1];
        for(;;t = nxt[t])
        {
            if(t == 0)
            {
                if(s2[1] == s2[i]) t = 1;
                else t = 0;
                break;
            }
            if(s2[t + 1] == s2[i])
            {
                t++;
                break;
            }
        }
        nxt[i] = t;
    }
}
int ans,pos[N];
void kmp()
{
    for(int i = 1,j = 0;i <= ls;i++)
    {
        if(s2[j + 1] != s[i]) j = nxt[j];
        if(s2[j + 1] == s[i]) j++;
        if(j == ls2)
        {
            j = nxt[j];
            ans++;
            pos[ans] = i - ls2 + 1;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%s
%s",s + 1,s2 + 1);
    ls = strlen(s + 1);ls2 = strlen(s2 + 1);
    pre_nxt();
    kmp();
    for(int i = 1;i <= ans;i++) printf("%d
",pos[i]);
    for(int i = 1;i <= ls2;i++) printf("%d ",nxt[i]);
}