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  • sin n次方 x 的降幂公式

    A(n) = ∫ sinⁿx dx
    = ∫ sinⁿ⁻¹xsinx dx
    = - ∫ sinⁿ⁻¹x d(cosx)
    = - sinⁿ⁻¹xcosx + ∫ cosx • d(sinⁿ⁻¹)
    = - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)∫ cosx • sinⁿ⁻²x • cosx dx
    = - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)∫ sinⁿ⁻²x • (1 - sin²x) dx
    = - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)A(n - 2) - (n - 1)A(n)
    [1 + (n - 1)]A(n) = - sinⁿ⁻¹xcosx + (n - 1)A(n - 2)
    A(n) = (- 1/n)sinⁿ⁻¹xcosx + [(n - 1)/n]A(n - 2),这就是让sinⁿx降幂的公式

    ∫ sin⁶x dx
    = (- 1/6)sin⁵xcosx + (5/6)∫ sin⁴x dx
    = (- 1/6)sin⁵xcosx + (5/6)[(- 1/4)sin³xcosx + (3/4)∫ sin²x dx]
    = (- 1/6)sin⁵xcosx - (5/24)sin³xcosx + (15/24)[(- 1/2)sinxcosx + (1/2)∫ dx]
    = (- 1/6)sin⁵xcosx - (5/24)sin³xcosx - (15/48)sinxcosx + 15x/48 + C
    特别地,当下限是0,上限是π/2时,有
    ∫(0→π/2) sinⁿx dx = ∫(0→π/2) cosⁿx dx = 
    { (n - 1)!/n! ,n是正奇数
    { (n - 1)!/n! • π/2,n是正偶数
    是Wallis公式

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/likeghee/p/10151748.html
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