循环

NOIP2005普及组第四题，

题目描述

乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。

众所周知，2的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复2，4，8，6，2，4，8，6……我们说2的正整数次幂最后一位的循环长度是4（实际上4的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：

循环 循环长度

2 2、4、8、6

4

3 3、9、7、1

4

4 4、6 2

5 5 1

6 6 1

7 7、9、3、1

4

8 8、4、2、6

4

9 9、1 2

这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数n的正整数次幂来说，它的后k位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？

注意：

1． 如果n的某个正整数次幂的位数不足k，那么不足的高位看做是0。

2． 如果循环长度是L，那么说明对于任意的正整数a，n的a次幂和a + L次幂的最后k位都相同。

输入输出格式

输入格式：

输入文件circle.in只有一行，包含两个整数n（1 <= n < 10^100）和k（1 <= k <= 100），n和k之间用一个空格隔开，表示要求n的正整数次幂的最后k位的循环长度。

输出格式：

输出文件circle.out包括一行，这一行只包含一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出-1。

输入输出样例

输入样例#1：

32 2

输出样例#1：

4
算法分析

可以发现,如果后k位循环,那么循环节一定是后k-1位循环的循环节的倍数

>   证明如下:设后k位循环节为a1,后k-1位循环的循环节是a2,且a1=p*a2+b(p,b是常数)

>     那么n^1的后k-1位=n^a2的后k-1位

>      n^1的后k位=n^a1的后k位->n^1的后k-1位=n^a1的后k-1位

>      所以n^a2的后k-1位等于n^a1的后k-1位...................................[1]

>       因为b不是循环节,所以n^(p*a2)的后k-1位不等于n^(p*a2+b)的后k-1位

>        n^(p*a2)的后k-1位等于n^a2的后k-1位

>                所以n^a2的后k-1位不等于n^a1的后k-1位,这与[1]矛盾,

>     所以我们可以求出后k-1位的循环节,再将后k-1位的循环节作为乘数求后k位的循环节(若n^a后k-1位与n的后k-1位相等,那么n^(a-1)为求后k位时的乘数),这样可以保证所枚举到的数一定是后k-1为循环节的倍数,而且可以大大减少枚举的数量

>     可以通过记录后k位循环节长度是后k-1的循环节的多少倍来求循环节,这样,枚举的数就不需要用高精度,最后结果相乘时用高精度

>   (2)整数的每一位有10种可能,如果某个长度枚举10次仍然没有循环的话,根据抽屉原理,因为这10个数中有1个没取到(就是该循环的一位)那么就一定出现了重复,也就是产生循环,但这个循环是以这9个数字中某个数开始的而不包括应该循环的那一位,那么意味着该循环的一位永远不会循环.那么这个时候就可以判断,这个数不会出现循环

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int k,kk;
struct date{
int x[10005];
friend void read(date&a){
char s[10005];
int i,j;
cin>>s;
for(i=0;s[i];i++);
for(i--,j=0;i>=0;i--,j++)a.x[j]=s[i]-'0';
}
date operator*(date&b){
date c;
for(int i=0;i<k;i++)for(int j=0;i+j<k;j++)
c.x[i+j]+=x[i]*b.x[j];
for(int i=0;i<k;i++){
c.x[i+1]+=c.x[i]/10;
c.x[i]%=10;
}
return c;
}
date operator*(int&b){
for(int i=0;i<k;i++)x[i]*=b;
for(int i=0;i<k;i++){
x[i+1]+=x[i]/10;
x[i]%=10;
}
return *this;
}
bool operator==(date&b){
for(int i=0;i<=kk;i++)if(x[i]!=b.x[i])return false;
return true;
}
date(){for(int i=0;i<=10005;i++)x[i]=0;}
}c,s,n,ans;
int main(){
int i;
read(n);
scanf("%d",&k);
// ans=s*n;
// for(i=k;i&&!ans.x[i];i--);
// for(i;i>=0;i--)printf("%d",ans.x[i]);
ans.x[0]=1;
for(kk=0;kk<k;kk++){
c=n;
for(i=1;;i++){
s=c*n;
if(s==n){n=c;ans=ans*i;break;}
c=s;
if(i>10){printf("-1");return 0;}
}
}
for(i=k;i>0&&!ans.x[i];i--);
for(i;i>=0;i--)printf("%d",ans.x[i]);
}