索引
前言
本篇内容为定理的证明
定理请参考：>传送门<
三个性质的证明
性质1证明:
这个式子是莫比乌斯函数真正的定义式
但是我们还是有证明
当(n=1)时，显然
[sum_{d|n}mu(d)=mu(1)=1
]
根据定义直接得到的结论
当(n eq1)时，
[sum_{d|n}=mu(a_1)+mu(a_2)+dots+mu(a_m)+mu(a_1a_2)+dots+mu(a_1a_2 dots a_m)
]
这里的a指质因数，m是质因数的个数，这一步是直接展开。
[=sum_{i=0}^{m}(-1)^iC^i_m
]
·上式在下文中被称为第二个式子
如果选择i个质因子作为d的值，有(C_m^i)种选法
[=0
]
这里博主给一个杨辉三角的解释，我们假设m为奇数，那么显然因为(C_m^i=C_m^{m-i})，又因为((-1)^i=-(-1)^{m-i})，所以第二个式子的值肯定为0，若m为偶数，我们设上一层的杨辉三角的
值为(1+a_1+a_2+dots+a_{m-1}+1)，且m为奇数，那么本层的杨辉三角值珂通过上一层推出，带入第二个式子得(1-1-a_1+a_1+a_2-a_2-a_3+dots+a_{m-1}-a_{m-1}-1+1)
得到 (0)。
性质1证毕
性质2证明:
待更
性质3证明:
待更
反演推论的证明
对于所有的满足
[sum_{k,dgeq1}|f(n/kd)|<infty
]
的函数，莫比乌斯反演都成立
假设
[g(n)=sum_{dgeq1}f(n/d)
]
那么
[sum_{dgeq1}mu(d)g(n/d)=sum_{dgeq1}mu(d)sum_{kgeq1}f(n/kd)
]
[=sum_{mgeq1}f(n/m)sum_{d,kgeq1}mu(d)[m=kd]
]
[=sum_{mgeq1}f(n/m)sum_{d ackslash m}mu(d)
]
[=sum_{mgeq1}f(n/m)[m=1]=f(n)
]
证毕。
另一个方向上证明类似。
后记
好书推荐：《具体数学:计算机珂学基础[第二版]》 作者：[美]·Ronald L.Graham ·Donald E.Knuth ·Oren Patashnik
忽略那个珂字
参考资料
《具体数学:计算机科学基础[第二版]》 作者：[美]·Ronald L.Graham ·Donald E.Knuth ·Oren Patashnik 参考内容:莫比乌斯反演的证明