[CF1093G]Multidimensional Queries 题解

前言

DennyQi太巨了!
定义一个点(a)，(a_x)表示(a)在第(x)维空间上的坐标值

题解

这题的思路珂以说非常巧妙(原谅我又用了这个"珂")，
我们知道曼哈顿距离是(sum|a_i-b_i|)，(|a_i-b_i|)其实也珂以看作是((a_i-b_i))和((b_i-a_i))中较大的那个。
根据上面的分析曼哈顿距离珂以看作是(sum max(a_i-b_i,b_i-a_i))，
继续分析珂以得出，每个点在每一维度上要应用的无非只有两种情况(a_i)，(-a_i)。
由于区间内取两点求最小值要求每个点都是完整的(就是说一旦选取了该点那么必定会用到该点所有维度上的坐标)，那么也就意味着对于一个点，它最多可能(仅为可能)用到的状态会是(2^k)次方个。
本题坐标只有5维，电脑不是人脑，那么显然我们珂以枚举解决以上问题。
那么求曼哈顿距离的时候便利所有(a_i)的正负性，显然若(a_i)为正，(b_i)即负；(a_i)为负，(b_i)为正。
如果用一个二进制状态来压缩，1表示(a_i)为正，0表示(a_i)为负，显然任意一组关于(a)的状态，记为(sta)，
对应的(b)的装态表示为((((2^k) - 1) - sta))也珂以记作((((2^k) - 1) extbf{xor} sta))。
那么用一个线段树维护，每一个节点表示对应的区间([l,r])内的曼哈顿距离最大值。
上传标记非常简单就是暴力取两个子节点，然后取对于每一种正负性的珂能，都取max即可。

inline void pushUp(int pos){
	for (int i = 0; i < max_sta; ++i)
		seg[pos].f[i] = max(seg[pos << 1].f[i], seg[pos << 1 | 1].f[i]);
}

同理应用于合并query时的左右子树的结果。

例子

如果您没有看懂上面的文字，我们不妨来举一个例子。
若(k=3)时有两个点(a,b)坐标分别记为((1,2,3),(-1,2,4))
那么对于点a来说有(2^3=8)种状态，
即((1,2,3),(1,2,-3),(1,-2,3),(1,-2,-3),)
  ((-1,2,3),(-1,2,-3),(-1,-2,3),(-1,-2,-3))
同理b也有(2^3=8)种状态，对于这(a,b)的(8)种状态两两对应，也就是
((1,2,3))对应((-(-1),-2,-4)dots)这些互相对应的状态取max以后也就是 (sum|a_i-b_i|)啦QAQ

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

struct Pos{
	int f[32];
} seg[800005];

int n, k, max_sta;

inline void pushUp(int pos){
	for (int i = 0; i < max_sta; ++i)
		seg[pos].f[i] = max(seg[pos << 1].f[i], seg[pos << 1 | 1].f[i]);
}

int tmppos[5];

void build(int pos, int l, int r){
	if (l == r){
		for (int i = 0; i < k; ++i) scanf("%d", &tmppos[i]);
		for (int i = 0; i < max_sta; ++i){
			seg[pos].f[i] = 0;
			for (int j = 0; j < k; ++j)
				if (i & (1 << j))
					seg[pos].f[i] += tmppos[j];
				else
					seg[pos].f[i] -= tmppos[j];
		}
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(pos << 1, l, mid), build(pos << 1 | 1, mid + 1, r);
	pushUp(pos);
}

inline void mrg(Pos &a, Pos b){
	for (int i = 0; i < max_sta; ++i)
		a.f[i] = max(a.f[i], b.f[i]);
}

Pos query(int pos, int l, int r, int x, int y){
	if (x <= l && r <= y) return seg[pos];
	int mid = (l + r) >> 1;
	Pos res;
	if (x <= mid)
		res = query(pos << 1, l, mid, x, y);
	if (y > mid){
		if (x <= mid)
			mrg(res, query(pos << 1 | 1, mid + 1, r, x, y));
		else
			res = query(pos << 1 | 1, mid + 1, r, x, y);
	}
	return res;
}

void modify(int pos, int l, int r, int x){
	if (l == r){
		for (int i = 0; i < max_sta; ++i){
			seg[pos].f[i] = 0;
			for (int j = 0; j < k; ++j)
				if (i & (1 << j))
					seg[pos].f[i] += tmppos[j];
				else
					seg[pos].f[i] -= tmppos[j];
		}
		return ;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if (x <= mid) modify(pos << 1, l, mid, x);
	else modify(pos << 1 | 1, mid + 1, r, x);
	pushUp(pos);
}

int main(){
	scanf("%d %d", &n, &k); max_sta = 1 << k;
	build(1, 1, n);
	int q; scanf("%d", &q);
	while (q--){
		int op; scanf("%d", &op);
		int i;
		if (op == 1){
			scanf("%d", &i);
			for (int j = 0; j < k; ++j)
				scanf("%d", &tmppos[j]);
			modify(1, 1, n, i);
		}
		else if (op == 2){
			int l, r; scanf("%d %d", &l, &r);
			Pos res = query(1, 1, n, l, r);
			int ans = 0;
			for (int i = 0; i < (1 << (k - 1)); ++i)
				ans = max(ans, res.f[i] + res.f[(max_sta - 1) ^ i]);
			printf("%d
", ans);
		}
	}
	return 0;
}