[数论]单位根反演

定义

[forall v,[n|v]=frac{1}{n}sum_{k=0}^{n-1}omega_n^{vk} ]

证明

若([n|v])，显然(omega_n^{vk}=omega_n^{zn}=0) (z为任意整数)。
否则转化为等比数列求和。

[displaystyle frac{1}{n}frac{omega_n^{nv}-omega_n^0}{omega_n^v-1}=0 ]

应用

类比莫比乌斯反演消去gcd，此反演可消去公式中的约数符号。