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  • 拓欧

    扩展欧几里得
    辗转相除法可以来求a,b两个数的最大公约数。而辗转相除的过程中,附带也可以得到满足ax+by=c(△)ax+by=c(△)的解系(X,Y)(X,Y)
    先来解决ax+by=gcd(a,b)(∗)ax+by=gcd(a,b)(∗)这一特殊情况。

    最简情况:b=0b=0时,gcd(a,b)=agcd(a,b)=a,方程化为ax=aax=a,则一组特殊解为(1,0)(1,0)
    当b≠0b≠0时,由辗转相除法gcd(a,b)=gcd(b,a%b)gcd(a,b)=gcd(b,a%b)可以改写原方程得到
    bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)bx′+(a%b)y′=gcd(b,a%b)又a%b=a−⌊ab⌋×ba%b=a−⌊ab⌋×b,代入前一方程,得到
    ay′+b(x′−⌊ab⌋y′)=gcd(a,b)ay′+b(x′−⌊ab⌋y′)=gcd(a,b)与方程(*)对比ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b),可知:x=y′,y=(x′−⌊ab⌋y′)x=y′,y=(x′−⌊ab⌋y′)得到一组递推关系。
    方程依次向下递归可以得到最简情况,得到解(1,0),再由递推关系回代到上一组解,最终可以得到方程(*)的解。 注意到,这是一组特解,并不唯一。
    //解方程ax+by=gcd(a,b) 返回gcd(a,b) 得到一组特解(x,y)
    int extend_Euclid(int a, int b, int &x, int &y){
        if(b==0){
        x = 1; y = 0;
        return a;
        }
        int r = extend_Euclid(b, a%b, y, x);
        y -= a/b*x;
        return r;
    }

    解二元一次线性方程 

    //求解ax+by=c 返回0为无解,否则返回gcd(a,b)个解,用X[],Y[]存;
    int X[N], Y[N];
    int equation(int a, int b, int c)
    {
        int x, y;
        int g = extend_Euclid(a, b, x, y);
        if(c % g)
            return 0;    //表示无解
        x *= c/g, y *= c/g;
        for(int k = 0;k < g;k++)
        {
            X[k] = (x+b/g*k)%b;//b/g为x的循环节   加
            Y[k] = (c-a*X[k])/b;//a/g为y的循环节  减
        }
        return g;
    }

    求逆元

    特别地,当有(a,m)=1ax1(modm)(a,m)=1时,ax≡1(modm)得到的x即是a模m的逆。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lipu123/p/12452018.html
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