卡特兰数的应用

Description

zzy今天刚买了两个水瓢A和B，容量都是为1升，童心未泯的他打算用这个水瓢来玩游戏。

首先zzy准备了一个容量可看作无穷大的水缸，刚开始水缸是空的，然后用水瓢A往水缸里加水，用水瓢B把水缸里的水舀出去，当使用水瓢B把水舀出去时水缸里必须要至少有1升的水。这样子使用N次水瓢A，也使用N次水瓢B，最后水缸会依旧空的。

Input

输入有多个例子，直到文件结束。

每个例子仅含一个数N(0<N<=10000)，表示你必须使用N次A水瓢和N次B水瓢。

Output

对于每个例子，请输出一个数，表示一共有多少种正确的舀水方式使得舀水过程中使用B水瓢时水缸里总会有足够的水。

（由于数字比较大，输出的答案模1000000007）

这道题是个水题，关键是判断出是进出栈这样一个模型。

进出栈满足卡特兰数，所以这道题等于是一个打表输出的过程

下面贴代码，也作为打表的模板。

 1 #include<iostream>
 2 #include<string.h>
 3 #include<stdio.h>
 4 #define mod 1000000007
 5 #define maxn 10000+10
 6 #define LL long long
 7 LL C[maxn];
 8 using namespace std;
 9 void built()
10 {
11     memset(C,0,sizeof(C));
12     C[1]=1;C[2]=1;C[3]=1;
13     for (int i=4;i<maxn;i++)
14     {
15         for(int j=2;j<=i-1;j++)
16         {
17             C[i]+=((C[j]%mod)*(C[i+1-j]%mod))%mod;
18         }
19         C[i]=C[i]%mod;
20     }
21     return ;
22 }
23 int main()
24 {
25     built();
26     int n;
27     while(~scanf("%d",&n))
28     {
29         printf("%lld
",C[n+2]);
30     }
31     return 0;
32 }

递推的公式白书上有。

但鉴于个人的数学能力，我还是列举一些卡特兰数的模型。

形式:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786.......

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式^[1]：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 复杂度O（n^2/2)

另类递推式^[2]：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 复杂度O（n）

常用模型:

1、矩阵链乘加括号法

2、出进栈不同次序数

3、划分三角形个数

4、n节点构成的二叉树个数

5、二分选择路径数（下图）