1 /*LA3523图论 2 二分图和点双连通分量的综合性质 3 4 这道题因为算法证明的理解，卡了几天，所以这里自己要详细的给自己分析一下. 5 题意：n个骑士举行圆桌会议。一场会议至少有3个人，且人数必须是奇数，人必须依次相邻的坐。相互憎恨的人不能相邻。问，无法参加任何会议的人的个数。 6 建模：每个人代表一个点，能相邻而坐的人之间连线（无向图）。如果一个点，不在任何一个奇圈中，则他必然不能参加任何会议。（一切会议方案都在图中被枚举了） 7 特殊情况：有几个连通分量，就分别判断。 8 算法设计： 9 1、我们发现这道题的建模容易，算法较难思考出，这个就像最小生成树，构造简单，算法难证明。 10 2、引用了性质:二分图没有奇圈，非二分图至少有一个奇圈（这是放在图是点双连通分量的基础上考虑的（任意两点至少存在两条点不重复的路径））就是说，满足条件的点最起码在一个点双连通分量上（因而，按照圆桌坐，至少形成点不重复的圈） 11 这个算法设计的讨巧了，就像是有了算法，再去证明的。 12 3、证明：点双分量的非二分图，每个点都在一个奇圈里： 13 如上图：我们假设有一个奇圈，因为是点双，没有割点，必然有紧挨着的圈，假设这个是偶数圈，则，这个偶数圈必然能和原来的奇圈组成新的奇圈(因为：新的圈=（奇数圈-k）+（偶数圈-k）=奇数+偶数-偶数=奇数，k是共同边上的点数，) 14 我们想想一下，以这个原本就存在的奇圈为中心向外辐散，是不是生成了很多奇圈，这样每个点都在一个奇圈上了。 15 注意：注意当点i属于多个连通分量时，bccno[i]多次被覆盖，所以无意义bccno，但是可以在后来，读出一个bcc中的点，给这些点标上相应的分量序号 16 */ 17 #include <stdio.h> 18 #include <stdlib.h> 19 #include <string.h> 20 #include <math.h> 21 #include <ctype.h> 22 #include <string> 23 #include <iostream> 24 #include <sstream> 25 #include <vector> 26 #include <queue> 27 #include <stack> 28 #include <map> 29 #include <list> 30 #include <set> 31 #include <algorithm> 32 #define INF 0x3f3f3f3f 33 #define LL long long 34 #define eps 1e-7 35 #define maxn 1100 36 using namespace std; 37 38 bool Hate[maxn][maxn];//注意憎恨是相互的 39 int n,m; 40 struct Edge{int u,v; }; 41 int color[maxn]; 42 //判断结点u所在的连通分量是否是二分图 43 int pre[maxn] , iscut[maxn] ,bccno[maxn] , dfs_clock , bcc_cnt; 44 vector<int>G[maxn] , bcc[maxn]; 45 bool bipartite(int u,int num)//u节点，num分量的序号 46 { 47 for(int i=0;i<G[u].size();i++)//枚举每条边 48 { 49 int v=G[u][i]; 50 if(bccno[v]!=num) continue;//不从这个点dfs 51 if (color[v]==color[u]) return false;//结点已经着了相分的颜色，产生了矛盾 52 if (!color[v])//还没有着色 53 { 54 color[v]=3-color[u]; 55 if (!bipartite(v,num)) return false; 56 } 57 } 58 return true; 59 } 60 61 stack<Edge> S;//中间变量 62 //bcc_cnt连通分量的个数 63 //bcc[i]第二个连通分量中所有的点 64 //注意当点i属于多个连通分量时，bccno[i]多次被覆盖，所以无意义bccno 65 int dfs(int u,int fa){ 66 int lowu = pre[u] = ++dfs_clock; 67 int child = 0 , ecnt = G[u].size(); 68 for(int i=0;i<ecnt ;i++){ 69 int v = G[u][i]; 70 Edge e = (Edge){u , v}; 71 if(!pre[v]){ 72 S.push(e); 73 child++; 74 int lowv = dfs(v ,u); 75 lowu = min(lowu , lowv); 76 if(lowv >= pre[u]){ 77 iscut[u] = 1; 78 bcc[++bcc_cnt].clear(); 79 while(true){ 80 Edge x = S.top(); S.pop(); 81 if(bccno[x.u]!=bcc_cnt) 82 bcc[bcc_cnt].push_back(x.u) , bccno[x.u] = bcc_cnt; 83 if(bccno[x.v]!=bcc_cnt) 84 bcc[bcc_cnt].push_back(x.v) , bccno[x.v] = bcc_cnt; 85 if(x.u==u && x.v==v) break; 86 } 87 } 88 } 89 else if(pre[v] < pre[u] && fa!=v){ 90 S.push(e); 91 lowu = min(lowu , pre[v]); 92 } 93 } 94 if(fa<0 && child==1) iscut[u] = 0; 95 return lowu; 96 } 97 void find_bcc(int n)//n是定点个数 98 { 99 memset(pre,0,sizeof(pre)); 100 memset(iscut,0,sizeof(iscut)); 101 memset(bccno,0,sizeof(bccno)); 102 dfs_clock=bcc_cnt=0; 103 for(int i=1;i<=n;i++) 104 { 105 if(!pre[i]) dfs(i,-1); 106 } 107 } 108 void read() 109 { 110 memset(Hate,0,sizeof(Hate)); 111 for(int i=1;i<=m;i++) 112 { 113 int a,b; 114 cin>>a>>b; 115 Hate[a][b]=Hate[b][a]=true; 116 } 117 for(int i=1;i<=n;i++)//建图 118 { 119 G[i].clear(); 120 for(int j=1;j<=n;j++) 121 { 122 if (i==j) continue; 123 if (!Hate[i][j]) G[i].push_back(j);//没有憎恨关系可以连一条边 124 //因为在后面又会枚举j连出的边，所以肯定形成了双向边 125 } 126 } 127 return; 128 } 129 bool ok[maxn];//是否能在一个奇圈中 130 int main() 131 { 132 while(cin>>n>>m) 133 { 134 if (n==0 && m==0) break; 135 read(); 136 find_bcc(n); 137 memset(ok,0,sizeof(ok)); 138 for(int i=1;i<=bcc_cnt;i++)//枚举每个连通分量 139 { 140 if (bcc[i].size()<=2) continue;//排除1,2个点形成的连通分量,这句在白书上没有写，是因为，单点和两个点是二分图！ 141 142 for(int j=0;j<bcc[i].size();j++) 143 bccno[bcc[i][j]]=i; 144 145 memset(color,0,sizeof(color));//记得初始化 146 int s=bcc[i][0]; 147 color[s]=1;//记得标记 148 149 if (!bipartite(bcc[i][0],i))//非二分图 150 { 151 for(int j=0;j<bcc[i].size();j++) 152 ok[bcc[i][j]]=true; 153 } 154 } 155 int ans=0; 156 for(int i=1;i<=n;i++) 157 if (!ok[i]) ans++; 158 cout<<ans<<endl; 159 } 160 return 0; 161 }
