P2181 对角线

题目传送门

\(n\)边形对角线个数 公式：\(n(n-3)/2\)

\(n\)边形对角线交点个数公式 ： \(C_n^4\)

理由：
首先由于不会有三条对角线交于一点，所以过某一个交点有且只能有\(２\)条对角线。
而这两条对角线实质上是确定了\(４\)个顶点（也可以看做是一个四边形的两条对角线交于一点，求四边形的数量）。
因此我们只需要确定\(４\)个顶点就得到了这个唯一确定的交点。因此我们只需要求这样\(４\)个顶点的搭配有多少个了,也就是从\(ｎ\)个顶点中取\(４\)个出来。

同时为了防止爆掉，但又不想写高精，我们可以采用一种化简的技巧,于是原式可以化为:

\(n * (n-1) / 2 * (n-2) / 3 * (n-3) / 4\)

那为什么这样一定是对的呢？难道不会因为除不尽却向下取整而导致错误吗？

事实上是一定除得尽的:

首先\(n\)和\(n-1\)一定有一个是\(2\)的倍数，因此\(2\)可以除尽，

同理\(n,n-1,n-2\)中一定有一个是\(3\)的倍数，因此\(3\)可以除尽（除掉\(2\)只会消除因数\(2\)而对\(3\)没有影响）,同理\(4\)也可以除尽。

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
LL n, ans;

int main() {
    cin >> n;
    ans = n * (n - 1) / 2 * (n - 2) / 3 * (n - 3) / 4;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}