欧拉函数：
性质：
- (Phi(n)=n*Pi_{p|n}(1-frac{1}{p})).
- ([1,n])中，与n互质的数的和为 (frac {n*Phi(n)}{2})
- 若((a,b)=1),则 (Phi(a*b)=Phi(a)*Phi(b)).
- 若 (p|n) 且 ({p^2}|n),则 (Phi(n)=Phi(n/p)*p).
- 若 (p|n) 且 ({p^2}!|n),则 ((p,frac{n}{p})=1)，即 (Phi(n)=Phi(n/p)*(p-1)).
- (Sigma_{d|n}{Phi(d)}=n)
- 计算单个欧拉函数：根据唯一分解定律，对n分解出所有的质因数，复杂度(O(sqrt{n})).
-
证明1：容斥原理，([1,n])中质数(p)的倍数的个数为：(lfloor frac {n}{p} floor)，([1,n])中质数(q)的倍数的个数为：(lfloor frac {n}{q} floor).
([1,n])中不与(n)有共同质因子p或q为：(n-frac{n}{p}-frac{n}{q}+frac{n}{pq}=n(1-frac{1}{p})(1-frac{1}{q}))
归纳可得：(Phi(n)=n*Pi_{p|n}(1-frac{1}{p})).
- 证明2：(gcd(n,x)=gcd(n,n-x)),(x,n-x)都和n互质，平均数为(frac{n}{2})
- 证明3：根据唯一分解定律得出.
- 证明6：令(f(n)=Sigma_{d|n}Phi(d))
有 (f(n*m)=Sigma_{d|n*m}Phi(d)=(Sigma_{d|n}Phi(d))*(Sigma_{d|m}Phi(d))=f(n)*f(m))
故 (f(n)) 是积性函数.
根据唯一分解定律，(n=Pi{c_i^{p_i}})
(f(p^m)=Sigma_{d|{p^m}}Phi(d)\=Phi(1)+Phi(p)+Phi(p^2)+....Phi(p^m)\=1+(p-1)+p(p-1)+...p^m(p-1)\=p^m)
(f(n)=Sigma_{d|n}Phi(d)\=Pi f(p_i^{c_i})\=Pi p_i^{c_i}\=n)
证毕.