洛谷 P1006 传纸条
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算法标签: 动态规划（DP）
题目
题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个(m)行(n)列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标((1,1))，小轩坐在矩阵的右下角，坐标((m,n))。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 (0) 表示），可以用一个 (0-100) 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这(2)条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 (2) 条路径。
输入格式
输入文件，第一行有 (2) 个用空格隔开的整数 (m) 和 (n) ，表示班里有 (m) 行 (n) 列。
接下来的 (m) 行是一个 (m imes n) 的矩阵，矩阵中第 (i) 行 (j) 列的整数表示坐在第 (i) 行 (j) 列的学生的好心程度。每行的 (n) 个整数之间用空格隔开。
输出格式
输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 (2) 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
输入输出样例
输入 #1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0
输出 #1
34
题解：
与洛谷 P1004 方格取数 题解 很相似的一道题，但略有不同。
在这道题当中，两个同学分别在((1,1))与((n,m))的位置上互相找两条最大路径，其实也就是相当于从((1,1))点出发到((n,m))点的两条最大路径。不过，需要注意的是，在这道题当中除了起始点与重点以外，每一个点只能经过一次（“班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次”），这也是这道题与 方格取数 的差别所在。
如图中两条不同颜色的路线，橙色为((i,j)) 所表示，蓝色为 ((k,l)) 所表示。
观察图片，不难发现除了起点和终点之外，一定是一条线在上，一条线在下边，所以针对于 (k) 只需要遍历 ((i + 1,k)) 的区间，针对于 (l) 只需要遍历 ((1,j-1))的区间即可求解。但是如果按照这种方式求出的两条路径，是不包括起点和终点的（刚好起点和重点都没有值），所以答案不是 (f[n][m][n][m]) ，而是按照重点上边的点和重点左边的点记录 (f[n-1][m][n][m-1]) 。
AC代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 51;
int n, m, map[N][N], f[N][N][N][N];
int getmax(int a, int b, int c, int d)
{
int res = max(a, max(b, max(c, d)));
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
scanf("%d", &map[i][j]);
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= m; j ++ )
for (int k = i + 1; k <= n; k ++ )
for (int l = 1; l <= j - 1; l ++ )
f[i][j][k][l] = getmax(
f[i - 1][j][k - 1][l],
f[i - 1][j][k][l - 1],
f[i][j - 1][k - 1][l],
f[i][j - 1][k][l - 1])
+ map[i][j] + map[k][l];
int ans = f[n - 1][m][n][m - 1];
printf("%d
", ans);
return 0;
}