数学剩余系

数学剩余系相关定理：

设

k₀= mq {...}

k₁=1+mq{...}

k₂=2+mq{...}

....

k_m-1=m-1+mq{...}

则定义k₀，k₁,k₂,k₃...k_m-1叫做模m剩余类.如果在模m的剩余类k₀，k₁,k₂,k₃...k_m-1中各取一个数，例如a_iΕk_i ,i=0,1,2,3...m-1.那么称a₀,a₁,a₂,a₃...a_m-1称为模m的一个完全剩余系。

定理1：设mΕZ⁺,k₀，k₁,k₂,k₃...k_m-1叫做模m剩余类,则有

　　(1)每一个数必包含在某一类K_i里，其中0≤i≤m-1.

　　(2)两个整数a,bΕ K_i的充分必要条件是a=b(mod m).

推论1.1：m个整数作成模m的一个完全剩余系的充分必要条件是两两对模m不同余。最常用的完全剩余系是0,2,3,4...m-1,他们称为模m的非负最小完全剩余系。

定理2：b是整数，(a,m)=1,如果a₀,a₁,a₂,a₃...a_m-1是模m的完全剩余系，则aa₀+b,aa₁+b,...aa_m-1+b也是完全剩余系。

定理3：设m₁,m₂Ε Z⁺,(m₁,m₂)=1,而x₁,x₂分别通过模m1,m2的完全剩余系，则m₂x₁+m₁x₂通过m₁m₂的完全剩余系。

推论3.1：设m₁,m₂Ε Z⁺, aΕ Z,(a,m₁)=1,且X={x₁,x₂,x₃...x_m1},Y={y₁,y₂,y₃...y_m2}分别是通过模m₁,m₂的完全剩余系，则R={ax+m₁y|xEX,yEY}是模m₁m₂的完全剩余系。

简化剩余系：

定义欧拉函数Φ(a)是定义在正整数集上的函数，Φ(a)等于序列0,1,2,3,...,a-1中与a互素的整数的个数。

于是：因为0,1,2,3,...,m-1中与m互素的数个数是Φ(m)个，所以模m的剩余类中有Φ(m)个与模m互素的剩余类。

定义在Φ(m)个与模m互素的剩余类中各取一个数，称为这Φ(m)个数为模m的一个简化剩余系。