如何找N个数中第i小的数

　　据说这是面试算法岗位中最常问的问题，各个面经里面出现这个问题的比率很高，今天的算法课讲了《算法导论》的第九章“中位数和顺序统计量”，9.2和9.3恰恰介绍的就是这个问题，这里做一下总结，说一下自己的理解。

　　首先，接手这个问题最直接的想法莫过于排序了，常用的排序算法里面有冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序、堆排序、快速排序、计数排序、基数排序、桶排序等，虽然说快排的平均时间复杂度达到了O(nlgn),桶排序的平均时间复杂度达到了O(n)但是基于排序的方法对于这个问题并不是一个好的解决方法。O(nlgn)的排序就不说了，O(n)的排序前面隐含的常数因子也会被下面介绍的算法所打败。

　　接下来会想到的方法，可能是对整个数组过i遍，每次都选择最小的，这样第i次就选到了第i小的，这样的话时间复杂度就成了O(in)，当i比较大时，仍然是不可接受的，万一i接近n/2呢，岂不是都O(n²)了。

　　期望线性时间复杂度算法

　　思考一下快排的PARTITION过程，经过多次左右互换，实现了针对于选定靶点A[q]，左侧的元素都小于A[q]，右侧的元素都大于A[q]。这个过程岂不是能用来帮助选点。

                                             　　

RANDOMIZED-SELECT(A,p,r,i)
    if p==r
        return A[p]
    q = RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r)    //划分位置
    k = q-p+1
    if i==k           //the pivot value is the answer
        return A[q]
    else if i<k
        return RANDOMIZED-SELECT(A,p,q-1,i)
    else return RANDOMIZED-SELECT(A,q+1,r,i-k)

第4行的划分位置是随机取到的，这样就为下面分析其期望时间复杂度埋下伏笔。k是left部分的长度。当i=k时，6、7行是k刚好满足长度要求，程序结束。第9行，意思是i<k时，程序进入left部分（注意递归处理的数组的范围的变化为A[p]~A[q-1]）；当i>k时，进入right部分（注意递归处理的数组的范围的变化为A[q+1]~A[r]，寻找的数的“位置”也要减去left部分的长度）。如此递归下去，则总会退出，即找到对应的第i小的数。

　　下面分析其时间复杂度。

　　最坏情况：假如第4行的RANDOMIZED-PARTITION(A,p,r) 每次划分的比例都是0:n-1(即最差情况)，这样的话时间复杂度就是O(n²)。

　　平均情况：T(n)≤Σ_k=1ⁿX_k•(T(max(k-1,n-k))+O(n) ) = Σ_k=1ⁿX_k•T(max(k-1,n-k)) + O(n) 

　　　　经过替换推导 E(T(n)) ≤ cn。即期望时间复杂度为线性时间复杂度。

　　最坏情况为线性时间点的选择算法

　　该算法比“期望线性时间复杂度算法”的主要改进是通过寻找中位数来得到一个更好的划分（上面的是随机取的划分位置）。SELECT算法使用的也是快速排序的确定性划分算法PARTITION，但做了修改，把划分的主元也作为输入参数。

通过执行下列步骤，算法SELECT可以确定一个有n>1个不同的元素的输入数组中第i小的元素。（如果n=1，则SEKECT只返回它的唯一输入数值作为第i小的元素 ）
（1）将输入数组的n个元素划分为(n/5)组，每组5个元素，且至多只有一组由剩下的n mod 5个元素组成。
（2）寻找这(n/5)组中每一组中位数：首先对每组元素进行插入排序，然后确定每组有序元素的中位数。
（3）对第2步中找出的(n/5)个中位数，递归调用SELECT以找出其中位数x（如果有偶数个中位数，为了方便，约定x是较小的中位数）
（4）利用修改过的PARTITION版本，按中位数的中位数x对输入数组进行划分。令k=划分的低区中的元素个数+1，因此x是第k小的元素，并且有n-k个元素在划分的高区。
（5）如果i=k，则返回x。如果i<k，则在低区递归调用SELECT来找出第i小的元素。如果i>k，则高区递归查找第i-k小的元素。

步骤1、2和4需要O(n)的时间。（步骤2是对大小为O(1)的集合调用O(n)次插入排序） 步骤3所需时间为T(n/5)，步骤5所需时间至多为T(7n/10+6)（具体推导请参考算导9.3）。这样根据主方法就很容易推导出时间复杂度为线性。（T(n)≤cn）