11-迷宫 & 八皇后

1. 迷宫回溯问题

1.1 代码实现

public class Maze {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] map = new int[8][7];
        initWall(map);
        setWay(map, 1, 1);
        for (int i = 0; i < 8; i++) {
            for (int j = 0; j < 7; j++)
                System.out.print(map[i][j] + "	");
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 使用递归回溯来给小球找路
     * [策略] 下 → 右 → 上 → 左
     * map[i][j]
     * 	= 0：该位置 没走过
     *  = 1：该位置 是墙
     *  = 2：该位置 ∈ 通路
     *  = 3：该位置 已经走过, 但是走不通
     * @param map 迷宫地图
     * @param i 初始位置 横坐标
     * @param j 初始位置 纵坐标
     * @return 找到通路则返回true; 否则返回false
     */
    public static boolean setWay(int[][] map, int i, int j) {
        // [递归终止条件] destination: map[6][1]
        if (map[6][1] == 2) {
            return true;
        } else {
            if (map[i][j] == 0) { // 没来过的点, 按 [策略] 走
                // [base] 先假设该点是通路上的一点
                map[i][j] = 2;
                if (setWay(map, i+1, j)) { // 向下走
                    return true;
                } else if (setWay(map, i, j+1)) { // 向右走
                    return true;
                } else if (setWay(map, i-1, j)) { // 向上走
                    return true;
                } else if (setWay(map, i, j-1)) { // 向左走
                    return true;
                } else {
                    // 到这了就说明前面的假设是错误的！从当前点出发, 往哪走都是死路一条
                    map[i][j] = 3;
                    return false;
                }
            } else { // = 1(墙), 2(就从这来的, 总不能往回走吧), 3(死路)
                return false;
            }
        }
    }

    public static void initWall(int[][] map) {
        int line = map.length; // 8
        int column = map[0].length; // 7

        // 上下
        for (int i = 0; i < column; i++) {
            map[0][i] = 1;
            map[line-1][i] = 1;
        }

        // 左右
        for (int i = 0; i < line; i++) {
            map[i][0] = 1;
            map[i][column-1] = 1;
        }

        // 琐碎
        map[3][1] = 1;
        map[3][2] = 1;
        map[2][2] = 1;
    }
}

1.2 递归过程

1.3 控制台打印

2. 八皇后问题

2.1 问题概述

八皇后问题是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于 1848 年提出：在 8×8 格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即：任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

2.2 思路分析

1. 第一个皇后先放第一行第一列；
2. 第二个皇后放在第二行第一列、然后判断是否 OK， 如果不 OK，继续放在第二列、第三列、依次把所有列都放完，找到一个合适；
3. 继续第三个皇后，还是第一列、第二列…… 直到第 8 个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到了一个正确解；
4. 当得到一个正确解时，在栈回退到上一个栈时，就会开始回溯，即将第一个皇后，放到第一列时的所有正确解，全部得到；
5. 然后回头继续第一个皇后放第二列，后面继续循环执行 1,2,3,4 的步骤。

2.3 代码实现

/*
 * 理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘, 但是实际上可以通过算法用一个
 * 一维数组即可解决问题，假设 array[8] = {0, 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3},
 * 其中 array[i] = value 表示第 i+1 个皇后放在第 i+1 行的第 value+1 列
 */
public class EightQueens {
    // 表示共有多少个皇后
    int max = 8;
    // 保存皇后放置位置, 比如上面的 array[8]
    int[] array = new int[max];

    public static void main(String[] args) {
        EightQueens e = new EightQueens();
        e.setQueen(0); // 92种解法
    }

    // 放置 Queen
    public void setQueen(int n) {
        // [终止条件] n = 8, 说明 [0]~[7] 个 Queen 已经放好了
        if (n == max) {
            print8Queens();
            return;
        }
        /*
         * 依次放入 Queen, 判断是否冲突
         * 每次递归调用 setQueen, 都会有一次 for 循环, 因此会有回溯
         */
        for (int i = 0; i < max; i++) {
            // 先把当前皇后 n, 放到该行的第 1 列
            array[n] = i;
            // 判断当放置〈皇后n〉到第 i 列时, 是否冲突
            if (checkPosition(n)) { // 不冲突
                setQueen(n+1); // 接着放置〈皇后n+1〉, 即开始递归
            } // 如果〈皇后n〉放在哪都不行，则会回溯到上一个皇后，让其 for 循环到下一个位置
        }
    }

    /**
     * 判断是否冲突: 检测 Queen 的当前位置是否和前面摆放的 Queens 是否冲突
     * @param n 第n个皇后 (从0开始数的)
     * @return 冲突则返回true; 反之false
     */
    public boolean checkPosition(int n) {
        /*
         * 1. array[i] == array[n] 在同一列
         * 2. 无需判断在同一行，这是不可能的
         * 3. Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n]-array[i]) 在同一斜线
         *     n-i: 行
         *     array[n]-array[i]: 列
         */
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (array[i] == array[n] || Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n]-array[i]))
                return false;
            return true;
        }
    }

    // 打印皇后摆放位置
    public void print8Queens() {
        for (int i = 0; i < array.length; i++)
            System.out.print(array[i] + " ");
        System.out.println();
    }
}

2.4 递归过程

第1个皇后放在第1列	√
第2个皇后放在第1列	×
第2个皇后放在第2列	×
第2个皇后放在第3列	√
第3个皇后放在第1列	×
第3个皇后放在第2列	×
第3个皇后放在第3列	×
第3个皇后放在第4列	×
第3个皇后放在第5列	√
第4个皇后放在第1列	×
第4个皇后放在第2列	√
第5个皇后放在第1列	×
第5个皇后放在第2列	×
第5个皇后放在第3列	×
第5个皇后放在第4列	√
第6个皇后放在第1列	×
第6个皇后放在第2列	×
第6个皇后放在第3列	×
第6个皇后放在第4列	×
第6个皇后放在第5列	×
第6个皇后放在第6列	×
第6个皇后放在第7列	×
第6个皇后放在第8列	×
第5个皇后放在第5列	×
第5个皇后放在第6列	×
第5个皇后放在第7列	×
第5个皇后放在第8列	√
第6个皇后放在第1列	×
第6个皇后放在第2列	×
第6个皇后放在第3列	×
第6个皇后放在第4列	×
第6个皇后放在第5列	×
第6个皇后放在第6列	×
第6个皇后放在第7列	×
第6个皇后放在第8列	×
第4个皇后放在第3列	×
第4个皇后放在第4列	×
第4个皇后放在第5列	×
第4个皇后放在第6列	×
第4个皇后放在第7列	√
第5个皇后放在第1列	×
第5个皇后放在第2列	√
第6个皇后放在第1列	×
第6个皇后放在第2列	×
第6个皇后放在第3列	×
第6个皇后放在第4列	√
第7个皇后放在第1列	×
第7个皇后放在第2列	×
第7个皇后放在第3列	×
第7个皇后放在第4列	×
第7个皇后放在第5列	×
第7个皇后放在第6列	√
第8个皇后放在第1列	×
第8个皇后放在第2列	×
第8个皇后放在第3列	×
第8个皇后放在第4列	×
第8个皇后放在第5列	×
第8个皇后放在第6列	×
第8个皇后放在第7列	×
第8个皇后放在第8列	×
第7个皇后放在第7列	×
第7个皇后放在第8列	×
第6个皇后放在第5列	×
第6个皇后放在第6列	×
第6个皇后放在第7列	×
第6个皇后放在第8列	×
第5个皇后放在第3列	×
第5个皇后放在第4列	√
第6个皇后放在第1列	×
第6个皇后放在第2列	×
第6个皇后放在第3列	×
第6个皇后放在第4列	×
第6个皇后放在第5列	×
第6个皇后放在第6列	×
第6个皇后放在第7列	×
第6个皇后放在第8列	×
第5个皇后放在第5列	×
第5个皇后放在第6列	×
第5个皇后放在第7列	×
第5个皇后放在第8列	×
第4个皇后放在第8列	√
第5个皇后放在第1列	×
第5个皇后放在第2列	√
第6个皇后放在第1列	×
第6个皇后放在第2列	×
第6个皇后放在第3列	×
第6个皇后放在第4列	√
...

2.5 控制台打印

0 4 7 5 2 6 1 3 
0 5 7 2 6 3 1 4 
0 6 3 5 7 1 4 2 
0 6 4 7 1 3 5 2 
1 3 5 7 2 0 6 4 
1 4 6 0 2 7 5 3 
1 4 6 3 0 7 5 2 
1 5 0 6 3 7 2 4 
1 5 7 2 0 3 6 4 
1 6 2 5 7 4 0 3 
1 6 4 7 0 3 5 2 
1 7 5 0 2 4 6 3 
2 0 6 4 7 1 3 5 
2 4 1 7 0 6 3 5 
2 4 1 7 5 3 6 0 
2 4 6 0 3 1 7 5 
2 4 7 3 0 6 1 5 
2 5 1 4 7 0 6 3 
2 5 1 6 0 3 7 4 
2 5 1 6 4 0 7 3 
2 5 3 0 7 4 6 1 
2 5 3 1 7 4 6 0 
2 5 7 0 3 6 4 1 
2 5 7 0 4 6 1 3 
2 5 7 1 3 0 6 4 
2 6 1 7 4 0 3 5 
2 6 1 7 5 3 0 4 
2 7 3 6 0 5 1 4 
3 0 4 7 1 6 2 5 
3 0 4 7 5 2 6 1 
3 1 4 7 5 0 2 6 
3 1 6 2 5 7 0 4 
3 1 6 2 5 7 4 0 
3 1 6 4 0 7 5 2 
3 1 7 4 6 0 2 5 
3 1 7 5 0 2 4 6 
3 5 0 4 1 7 2 6 
3 5 7 1 6 0 2 4 
3 5 7 2 0 6 4 1 
3 6 0 7 4 1 5 2 
3 6 2 7 1 4 0 5 
3 6 4 1 5 0 2 7 
3 6 4 2 0 5 7 1 
3 7 0 2 5 1 6 4 
3 7 0 4 6 1 5 2 
3 7 4 2 0 6 1 5 
4 0 3 5 7 1 6 2 
4 0 7 3 1 6 2 5 
4 0 7 5 2 6 1 3 
4 1 3 5 7 2 0 6 
4 1 3 6 2 7 5 0 
4 1 5 0 6 3 7 2 
4 1 7 0 3 6 2 5 
4 2 0 5 7 1 3 6 
4 2 0 6 1 7 5 3 
4 2 7 3 6 0 5 1 
4 6 0 2 7 5 3 1 
4 6 0 3 1 7 5 2 
4 6 1 3 7 0 2 5 
4 6 1 5 2 0 3 7 
4 6 1 5 2 0 7 3 
4 6 3 0 2 7 5 1 
4 7 3 0 2 5 1 6 
4 7 3 0 6 1 5 2 
5 0 4 1 7 2 6 3 
5 1 6 0 2 4 7 3 
5 1 6 0 3 7 4 2 
5 2 0 6 4 7 1 3 
5 2 0 7 3 1 6 4 
5 2 0 7 4 1 3 6 
5 2 4 6 0 3 1 7 
5 2 4 7 0 3 1 6 
5 2 6 1 3 7 0 4 
5 2 6 1 7 4 0 3 
5 2 6 3 0 7 1 4 
5 3 0 4 7 1 6 2 
5 3 1 7 4 6 0 2 
5 3 6 0 2 4 1 7 
5 3 6 0 7 1 4 2 
5 7 1 3 0 6 4 2 
6 0 2 7 5 3 1 4 
6 1 3 0 7 4 2 5 
6 1 5 2 0 3 7 4 
6 2 0 5 7 4 1 3 
6 2 7 1 4 0 5 3 
6 3 1 4 7 0 2 5 
6 3 1 7 5 0 2 4 
6 4 2 0 5 7 1 3 
7 1 3 0 6 4 2 5 
7 1 4 2 0 6 3 5 
7 2 0 5 1 4 6 3 
7 3 0 2 5 1 6 4