1. Boosting提升方法（源自统计学习方法)
提升方法是一种常用的统计学习方法，应用十分广泛且有效。在分类问题中，它通过改变训练样本的权重，学习多个分类器，并将这些分类器进行线性组合，提高分类的性能。提升算法基于这样一种思路：对于一个复杂任务来说，将多个专家的判断进行适当的综合所得出的判断，要比其中任何一个专家独断的判断好。实际上，就是“三个臭皮匠顶个诸葛亮”的道理。
历史上，Kearns和Valiant首先提出了“强可学习（Strongly learnable）”和“弱可学习（Weekly learnable）”的概念。支出：在概率近似正确（probably approximately correct，PAC）学习框架中，一个概念（一个分类），如果存在一个多项式的学习算法能够学习它，并且正确率很好，那么就称这个概念是强可学习的；一个概念（一个分类），如果存在一个多项式的学习算法能够学习它，但学习的正确率仅比随机猜测略好，那么就称这个概念是弱可学习的。非常有趣的是Schapire后来证明强可学习与弱可学习是等价的，也就是说，在PAC学习框架下，一个概念是强可学习的充要条件是这个概念是弱可学习的。
这样一来，问题便成为，在学习中，如果已经发现了“弱学习算法”，那么能否将它提升（boost）为“强学习算法”。大家知道，发现弱学习算法通常要比发现强学习算法容易得多。那么如何具体实施提升，便成为开发提升方法时所要解决的问题。关于提升方法的研究很多，有很多算法被提出，最具代表性的是AdaBoost算法（Adaboost algorithm）。
对与分类问题而言，给定一个训练样本集，求比较粗糙的分类规则（弱分类器）要比求精确的分类规则（强分类器）容易得多。提升方法就是从弱学习算法出发，反复学习，得到一系列分类器，然后组合这些分类器，构成一个强分类器。
这样，对于提升算法来说，有两个问题需要回答：一是在每一轮如何改变训练数据的权值分布；二是如何将弱分类器组合成一个强分类器。
Boosting算法要涉及到两个部分，加法模型和前向分步算法。
(1) 加法模型就是说强分类器由一系列弱分类器线性相加而成。一般组合形式如下：
$F_M(x;P)=sum_{m=1}^nalpha _mh(x; heta_m)$
其中$h(x; heta_m)$是一个个的弱分类器，$ heta_m$是弱分类器学习到的最优参数；$alpha_m$就是若学习在强分类器中所占的比重；$P$是所有$alpha_m$和$ heta_m$的组合。这些弱分类器线性相加组成强分类器。
(2) 前向分布就是说在训练过程中，下一轮迭代产生的分类器是在上一轮的基础上训练得来的。也就是可以协成这样的形式：
$F_m (x)=F_{m-1}(x)+alpha _mh(x; heta_m)$
由于采用的损失函数不同，Boosting算法也因此有了不同的类型，AdaBoost就是损失函数为指数损失的Boosting算法。
2. Adaboost算法
Adaboost算法思想：
1) 提高那些被前一轮弱分类器错误分类的样本的权值，降低那些被正确分类的样本的权值；
2) 采用加权多数表决的方法。具体的，加大分类误差率小的弱分类器的权值，使其在表决中起较大的作用；减小分类误差率大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。
Adaboost算法流程：
输入：训练数据集$T={(x_1, y_1),(x_2, y_2),(x_3, y_3),...(x_n, y_n)}$，其中$x_iin Xsubseteq mathbb{R}^{n},y_iin Y={-1,+1}$,$Y={-1, +1}$是弱分类算法。
输出：最终分类器$G_m(x)$
初始化：假定第一次训练时，样本均匀分布权值一样。
$D_1=(w_{11}, w_{12},w_{13}......w_{1n})$
其中$w_{1i}=frac{1}{n},i=1,2,3...n$
循环：m=1,2,3...M，
(a) 使用具有权值分布$D_m$的训练数据集学习，得到基本分类器$G_m$（选取让误差率最低的阈值来设计基本分类器）：
$G_m(x):chi ightarrow {-1, +1}$
(b) 计算$G_m(x)$在训练集上的分类误差率$e_m$
$e_m=P(G_m(x_i) eq y_i)=sum_{i=1}^{n}w_{mi}I(G_m(x_i) eq y_i)$
$I(G_m(x_i) eq y_i)$：当$G_m(x_i)$与$y_i$相等时，函数取值为0；当$G_m(x_i)$与$y_i$不相等时，取值为1;。
由上述式子可知，$G_m(x)$在训练数据集上的误差率$e_m$就是被$G_m(x)$误分类样本的权值之和。
(c) 计算$G_m(x)$的系数$alpha_m$，$alpha_m$表示$G_m(x)$在最终分类器中的重要程度：
$alpha_m = frac{1}{2}lnfrac{1-e_m}{e_m}$
【注】显然$e_m <= 1/2$时，$alpha_mam >= 0$，且$alpha_m$随着$e_m$的减小而增大，意味着分类误差率越小的基本分类器在最终分类器中的作用越大
此时分类器为：$f_m(x)=alpha_mG_m(x)$
(d) 更新训练数据集的权值分布，用于下一轮迭代。
$D_{m+1}=(w_{m+1,1},w_{m+1,2},w_{m+1,3},...w_{m+1,n})$
$w_{m+1,i}=frac{w_{mi}}{Z_m}exp(-y_ialpha_mG_m(x_i))$，$i=1,2,3,...n$
其中$Z_m$是规范化因子，使得$D_{m+1}$成为一个概率分布。
$Z_m=sum_{i=1}^{n}w_{mi}exp(-y_ialpha_mG_m(x_i))$
循环结束条件：
$e_m$小于某个阈值（一般是0.5），或是达到最大迭代次数。
AdaBoost 方法中使用的分类器可能很弱（比如出现很大错误率），但只要它的分类效果比随机好一点（比如两类问题分类错误率略小于0.5），就能够改善最终得到的模型。
组合分类器：
$f(x)=sum_{m=1}^{M}alpha_mG_m(x)$
最终分类器：
$G_m(x)=sign(f(x))=sign(sum_{i=1}^{M}alpha_mG_m(x))$
3. Adaboost示例
假定给出下列训练样本。
| 序号 | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
初始化：$w_{1i}=frac{1}{n}=0.1$，n=10（样本个数)
| 序号 |
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 初始权值 | $w_{1i}$ | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
阈值猜测：观察数据，可以发现数据分为两类：-1和1，其中数据“0,1,2”对应“1”类，数据“3,4,5”对应“-1”类，数据“6,7,8”对应“1”类，数据“9”对应“"1”类。抛开单个的数据“9”，可以找到对应的数据分界点（即可能的阈值），比如：2.5、5.5、8.5（一般0.5的往上加，也可以是其他数）。然后计算每个点的误差率，选最小的那个作为阈值。
但在实际操作中，可以每个数据点都做为阈值，然后就算误差率，保留误差率最小的那个值。若误差率有大于0.5的就取反（分类换一下，若大于取1，取反后就小于取1），再计算误差率。
迭代过程1：m=1
1> 确定阈值的取值及误差率
- 当阈值取2.5时，误差率为0.3。即 x<2.5 时取 1，x>2.5 时取 -1，则数据6、7、8分错，误差率为0.3（简单理解：10个里面3个错的，真正误差率计算看下面的表格 ）
- 当阈值取5.5时，误差率最低为0.4。即 x<5.5 时取1，x>5.5 时取 -1，则数据3、4、5、6、7、8分错，错误率为0.6>0.5，故反过来，令 x>5.5 取 1，x<5.5 时取 -1，则数据0、1、2、9分错，误差率为0.4
- 当阈值取8.5时，误差率为0.3。即 x<8.5 时取1，x>8.5 时取 -1，则数据3、4、5分错，错误率为0.3
由上面可知，阈值取2.5 或8.5时，误差率一样，所以可以任选一个作为基本分类器。这里选2.5为例。
$G_1(x)=egin{cases}1, &x<2.5 \-1, & x>2.5 end{cases}$
计算误差率：
| 序号 | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 分类器结果 | $G_1(x)$ | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 |
| 分类结果 | 对 | 对 | 对 | 对 | 对 | 对 | 错 | 错 | 错 | 对 |
从上可得$G_1(x)$在训练数据集上的误差率（被分错类的样本的权值之和）:
$e_1=P(G_1(x_i) eq y_i)=sum_{G_1(x_i) eq y_i}w_{1i}=0.1+0.1+0.1=0.3$
2> 计算$G_1(x)$的系数：
$alpha_1=frac{1}{2}lnfrac{1-e_1}{e_1}=frac{1}{2}lnfrac{1-0.3}{0.3}approx 0.42365$
这个$alpha_1$代表$G_1(x)$在最终的分类函数中所占的比重约为0.42365
3> 分类函数
$f_1(x)=alpha_1G_1(x)=0.42365G_1(x)$
4> 更新权值分布：
| 序号 |
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 初始权值1 | $w_{1i}$ | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| 更新权值2 | $w_{2i}$ | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.16666 | 0.16666 | 0.16666 | 0.07143 |
由上面可以看出，因为数据“6,7,8”被$G_1(x)$分错了，所以它们的权值由初始的0.1增大到了0.16666；其他的数据由于被分对了，所以权值由0.1减小到0.07143。
迭代过程2：m=2
1> 确定阈值的取值及误差率
- 当阈值取2.5时，误差率为0.49998。即 x<2.5 时取 1，x>2.5 时取 -1，则数据6、7、8分错，误差率为0.16666*3（取过，不列入考虑范围）
- 当阈值取5.5时，误差率最低为0.28572。即 x<5.5 时取1，x>5.5 时取 -1，则数据3、4、5、6、7、8分错，错误率为0.07143*3+0.16666*3=0.71427>0.5，故反过来，令 x>5.5 取 1，x<5.5 时取 -1，则数据0、1、2、9分错，误差率为0.07143*4=0.28572
- 当阈值取8.5时，误差率为0.21429。即 x<8.5 时取1，x>8.5 时取 -1，则数据3、4、5分错，错误率为0.07143*3=0.21429
由上面可知，阈值取8.5时，误差率最小，所以：
$G_2(x)=egin{cases}1, &x<8.5 \-1, & x>8.5 end{cases}$
计算误差率：
| 序号 | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 权值分布 | $w_{2i}$ | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.16666 | 0.16666 | 0.16666 | 0.07143 |
| 分类器结果 | $G_2(x)$ | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 分类结果 | 对 | 对 | 对 | 错 | 错 | 错 | 对 | 对 | 对 | 对 |
从上可得$G_2(x)$在训练数据集上的误差率（被分错类的样本的权值之和）:
$e_2=P(G_2(x_i) eq y_i)=sum_{G_2(x_i) eq y_i}w_{2i}=0.07143+0.07143+0.07143=0.21429$
2> 计算$G_2(x)$的系数：
$alpha_2=frac{1}{2}lnfrac{1-e_2}{e_2}=frac{1}{2}lnfrac{1-0.21429}{0.21429}approx 0.64963$
这个$alpha_2$代表$G_2(x)$在最终的分类函数中所占的比重约为0.649263
3> 分类函数
$f_2(x)=alpha_2G_2(x)=0.64963G_2(x)$
4> 更新权值分布：
| 序号 |
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 初始权值1 | $w_{1i}$ | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| 权值2 | $w_{2i}$ | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.16666 | 0.16666 | 0.16666 | 0.07143 |
| 更新权值3 | $w_{3i} | 0.04546 | 0.04546 | 0.04546 | 0.16667 | 0.16667 | 0.16667 | 0.10606 | 0.10606 | 0.10606 | 0.04546 |
迭代过程3：m=3
1> 确定阈值的取值及误差率
- 当阈值取2.5时，误差率为0.31818。即 x<2.5 时取 1，x>2.5 时取 -1，则数据6、7、8分错，误差率为0.10606*3=0.31818（取过，不列入考虑范围）
- 当阈值取5.5时，误差率最低为0.18184。即 x<5.5 时取1，x>5.5 时取 -1，则数据3、4、5、6、7、8分错，错误率为0.16667*3+0.10606*3=0.81819>0.5，故反过来，令 x>5.5 取 1，x<5.5 时取 -1，则数据0、1、2、9分错，误差率为0.04546*4=0.18184
- 当阈值取8.5时，误差率为0.13638。即 x<8.5 时取1，x>8.5 时取 -1，则数据3、4、5分错，错误率为0.04546*3=0.13638（取过，不列入考虑范围）
由上面可知，阈值取8.5时，误差率最小，但8.5取过了，所以取5.5：
$G_3(x)=egin{cases}-1, &x<5.5 \1, & x>5.5 end{cases}$
计算误差率：
| 序号 | i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 权值分布 | $w_{3i}$ | 0.04546 | 0.04546 | 0.04546 | 0.16667 | 0.16667 | 0.16667 | 0.10606 | 0.10606 | 0.10606 | 0.04546 |
| 分类器结果 | $G_3(x)$ | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 分类结果 | 错 | 错 | 错 | 对 | 对 | 对 | 对 | 对 | 对 | 错 |
从上可得$G_3(x)$在训练数据集上的误差率（被分错类的样本的权值之和）:
$e_3=P(G_3(x_i) eq y_i)=sum_{G_3(x_i) eq y_i}w_{3i}=0.04546+0.04546+0.04546+04546=0.18184$
2> 计算$G_3(x)$的系数：
$alpha_3=frac{1}{2}lnfrac{1-e_3}{e_3}=frac{1}{2}lnfrac{1-0.18188}{0.18184}approx 0.75197$
这个$alpha_3$代表$G_3(x)$在最终的分类函数中所占的比重约为0.75197
3> 分类函数
$f_3(x)=alpha_3G_3(x)=0.75197G_3(x)$
4> 更新权值分布：
| 序号 |
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 数据 | x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 类别标签 | y | 1 | 1 | 1 | -1 | -1 | -1 | 1 | 1 | 1 | -1 |
| 初始权值1 | $w_{1i}$ | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
| 权值2 | $w_{2i}$ | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.07143 | 0.16666 | 0.16666 | 0.16666 | 0.07143 |
| 权值3 | $w_{3i} | 0.04546 | 0.04546 | 0.04546 | 0.16667 | 0.16667 | 0.16667 | 0.10606 | 0.10606 | 0.10606 | 0.04546 |
| 更新权值4 | $w_{4i} | 0.12500 | 0.12500 | 0.12500 | 0.10185 | 0.10185 | 0.10185 | 0.06481 | 0.06481 | 0.06481 | 0.12500 |
迭代过程4：m=4
此时观察数据，每次迭代被分错的数据都已经重新分配过权值，按其他参考资料来说，此时的误差率为0，所以迭代可以到此结束。
最终分类器：
$G_m(x)=sign(0.42365G_1(x)+0.64963G_2(x)0.75197G_3(x))$
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参考文献：
原文：https://blog.csdn.net/gyqjn/article/details/45501185