2020牛客暑期多校训练营（第六场）H Harmony Pairs 题解

题意

设 S ( x ) 为x各数位之和，如 S (123) =1+2+3=6，求有多少数对(A,B)满足S(A)>S(B) 0<=A<B<=N

N<=10^100。

看数据范围，肯定是数位DP。

首先，我们考虑简化问题：

当N=9999999……999999时答案时什么样的。

我们考虑分类讨论：

当A、B位数不同时，我们设 f [ x ] [ y ] 为共x位 ( 算前导0 )，位数和为y的数字有多少个 。设sm[x][y]为f[x][y]的后缀和。

则我们可以枚举B的和，再利用sm[x][y]O(1)求解。

当A、B位数不同时，我们枚举A在哪一位首先小于B，然后分别枚举这一位之前 与之后的 A与B的位数和。求出A、B位数相同时的数对数。

两者相加得到L[i]，表示0~999……999( 共 i 个9)的答案。

接下来，我们正式开始数位DP

我们分三种情况DP：

当B DP到从高到低第X位时

1、A在前x-1位就已经确定它一定小于此时的B

设F [ x ] [ y ]，为到当前第 x 位 时，A已经可以通过前x-1位判断出A<B 且前x-1位数位和为y的方案数。

然后枚举B在这一位填什么以及后面那些位的位数和来统计答案。

2、A前x-1位于B相同，在x拉开差距

我们枚举B与A在这一位的差值以及之后几位里B的数位和来求解

3、A与B前x为都相同且第x为小于A[i]

这里就用我们之前求出的L[i]数组乘上A[i]求解即可。

虽然思路看起来比较简单，但是边界还是很难处理的。详情请看代码。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 105
#define M 905
using namespace std;
const int p= 1e9+7;
long long f[N][M];
long long sm[N][M];
long long L[N];
char bb[N];
int A[N],n;
long long F[2][M];
int main()
{
    f[0][0]=1;
    sm[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=100;i++)
    {
        for(int j=0;j<=(i-1)*9;j++)
        {
            for(int k=0;k<=9;k++)
            {
                f[i][j+k]+=f[i-1][j];
                f[i][j+k]%=p;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=100;i++)
    {
        for(int j=900;j>=0;j--)
        {
            sm[i][j]=sm[i][j+1]+f[i][j];
            sm[i][j]%=p;
        }
    }
    for(int i=1;i<=100;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            for(int k=j*9;k>=0;k--)
            {
                L[i]+=(f[j][k]-f[j-1][k]+p)%p*sm[j-1][k+1]%p;
                L[i]%=p;
            }
        }
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            long long tmp1=sm[j-1][0];
            for(int k=1;k<=9;k++)
            {
                for(int l=0;l<=(i-j)*9;l++)
                {
                    L[i]+=(tmp1-1)*f[i-j][l]%p*sm[i-j][l+k+1]%p*(9-k+1)%p;
                    L[i]%=p;
                    L[i]+=f[i-j][l]%p*sm[i-j][l+k+1]%p*(9-k)%p;
                    L[i]%=p;
                }
                
            }
        
        }
    }
    scanf("%s",bb+1);
    n=strlen(bb+1);
    long long sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        A[i]=bb[i]-'0';
    }
    int now=n;
    while(A[now]==9)
    {
        A[now]=0;
        now--;
    }
    A[now]++;
    if(now==0)
    {
        for(int i=n+1;i;i--) A[i]=A[i-1];
        A[0]=0;
        n=n+1;
    }
    long long ans=0;
    int la=1,nw=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int tmp=n-i;
        for(int j=0;j<=(i-1)*9;j++)
        {
            if(!F[nw][j])continue;
            for(int k=0;k<A[i];k++)
            {
                for(int l=0;l<=tmp*9;l++)
                {
                    int tmpp=sum+k+l-j+1;
                    if(tmpp<0) tmpp=0;
                    if(tmpp>=0&&tmpp<=900) 
                    {
                        ans+=F[nw][j]*f[tmp][l]%p*sm[tmp+1][tmpp]%p,ans%=p;
                    }
                }
            }
        }
        for(int j=0;j<=tmp*9;j++)
        {
            for(int k=1;k<=A[i]-1;k++)
            {
                ans+=f[tmp][j]*sm[tmp][j+k+1]%p*(A[i]-k)%p;
                ans%=p;
            }
        }
        ans+=1ll*L[tmp]*(A[i])%p;
        ans%=p;
        nw^=1,la^=1;
        memset(F[nw],0,sizeof(F[nw]));
        for(int j=0;j<=(i-1)*9;j++)
        {
            for(int k=0;k<=9;k++)
            {
                F[nw][j+k]+=F[la][j];
                F[nw][j+k]%=p;
            }
        }
        for(int k=0;k<A[i];k++)
        {
            F[nw][sum+k]++;
        }
        sum+=A[i];
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}
/*
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*/