终于我也开始学博弈了，说了几个月，现在才学。学多点套路，不深学。（~~）
参考刘汝佳蓝书p132
nim游戏：
假设是两维的取石子游戏，每次可以在任意一堆拿任意数量个（至少一根，因为这样游戏的状态集有限，所以如果可以不拿的，那应该不是nim游戏了，大家都不拿，出现了bug），同时规定没有办法拿的那个人输。
那么记录状态win[i][j]表示第一堆是i个，第二堆是j个的时候，是否必胜。则win[0][0] = false
win[0][1--m] = true因为可以拿走全部，使得对手走去win[0][0]的必败状态。同理win[1---n][0] = true
那么，定义：
①、一个状态是必败态当且仅当它的所有后继（也就是所有取石子方案）都是必胜态。 必败态是取什么都败
②、一个状态是必胜态当且仅当它至少有一个后继是必败态。 注意，必胜态不是任取都胜，是通过某种策略取了，然后胜利。
③、没有后继的状态是必败态（因为这里我们假设不能走就是输）
有了上面的基础，
学习了Chomp！游戏
有一个n*m的矩阵，每次可以拿走(x, y)及其右上方的所有格子，谁拿到（1， 1）这个格子的输。
// 嗯所以win[1][1] = false, win[1][2--m] = true, win[2---n][1] = true，然后我不会推了，
这里用的是反证法，假设先手必败。但是我发现一个技巧就是，你只能假设他必败，因为定义1，必败态的所有后继都是必胜。如果你假设它必胜，那么只需要找到一个后继是必败就能证明，但这往往很难找。所以要假设它是必败的。
那么如果先手必败，它取哪一个都是败，设是(n, m)，这个时候后手必胜，它通过某种策略取到了必胜局面。那么事实上，先手在第一次取得时候就可以和后手这次取得一模一样，抢先进入必胜局面，这和假设矛盾。所以只有n==1&&m==1是输，其他赢。
变种：约数游戏。
有1--n个数字，两人轮流选择一个数，并且把这个数和它的约数全部删去，擦去最后一个的人赢。
假设先手必败，就是它任取哪一个都败，假设我取了1，然后后手通过某种策略，擦去了x，使得进去必胜局面，那么其实这个局面先手可以抢先进入，因为1的所有数字的约数。所以先手永远必胜。
nyoj 23 取石子（一）
http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=23
设f[0]是必败态，那么f[1--m]是必胜态，f[m + 1]的后继只有f[1---m]，也就是留了一个必胜的后继给对手，所以f[m + 1]是必败态。一路算下去，只要是m + 1的倍数的，都是必败态。
原来这是巴什博奕（Bash Game）：
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <assert.h> #define IOS ios::sync_with_stdio(false) using namespace std; #define inf (0x3f3f3f3f) typedef long long int LL; #include <iostream> #include <sstream> #include <vector> #include <set> #include <map> #include <queue> #include <string> #include <bitset> void work() { int n, m; scanf("%d%d", &n, &m); if (n <= m) { cout << "Win" << endl; return; } int base = m + 1; n %= base; if (n == 0) { cout << "Lose" << endl; } else cout << "Win" << endl; } int main() { #ifdef local freopen("data.txt", "r", stdin); // freopen("data.txt", "w", stdout); #endif int t; scanf("%d", &t); while (t--) work(); return 0; }
Nim和
假设是取三堆石子，每堆石子至少取一个，可以取完，这样的游戏怎么快速解答，因为数字很大。
设f(x1, x2, x3)表示三堆石子现在剩余个数的状态。
L.Bouton定理：状态f(x1, x2, x3)是必败态的条件是：当且仅当x1 ^ x2 ^ x3 == 0，称为Nim sum
这是单个游戏的结论，就是这个游戏就是给你三堆石子来玩。
但是组合游戏：是给你很多个子游戏，每个子游戏就是三堆石子来玩。组合游戏都是很复杂的。注意你不能直接把x个子游戏里面的石头的值全部异或起来，然后判断nim和，这是不对的，因为每个游戏不互相影响。
那么怎么判断整个组合游戏的局面呢？
sg函数，怎么说呢，就是它的后继集合，第一个没有出现的非0整数。其实整个博弈过程就是一颗树。
从状态f(x, y)--->【f(a, b), f(c, d), f(x, y)】都是它的后继，就是能直接到达的状态。每个状态又有后继。那么可以知道，没有后继的状态是必败的，因为你没得取石子了。记为0，那么它的父状态是必胜的，记为1，递归上去即可。
一开始以为sg函数不是0就是1，其实是错的，因为一个状态有很多兄弟状态，如果兄弟状态的值是0、1、那么父状态就是2了。
可以知道，一个状态为必败态的充要条件是sg值等于0.等于0说明它的后继没有0，它的后继没有0说明所有后继状态都是必胜态。
所以父状态是必败的。
sg定理：组合游戏和的sg函数等于各个子游戏sg函数的nim和。（nim和其实就是全部异或起来）
组合游戏和的sg函数，也是一样，必败态的充要条件是sg值等于0。
那么其实上面说的判断nim游戏的输赢，其实就是sg定理的直接应用。可以看出若干个一堆的nim游戏。
假设一个nim游戏是三堆石子x, y, z，那么sg(x) = x的，是必胜的，因为一次全拿就是胜了。
所以nim和就是sg(x) ^ sg(y) ^ sg(z)，也即是x ^ y ^ z
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nyoj 135 取石子（二）
http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=135
这题是n个的bash游戏。
算出整个组合游戏的sg即可，单个游戏的sg值是n % (m + 1)，可以先看看sg值找下规律。
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <assert.h> #define IOS ios::sync_with_stdio(false) using namespace std; #define inf (0x3f3f3f3f) typedef long long int LL; #include <iostream> #include <sstream> #include <vector> #include <set> #include <map> #include <queue> #include <string> #include <bitset> const int maxn = 50; int sg[maxn], vis[maxn]; LL calc(LL n, LL m) { return n % (m + 1); } void work() { int n; cin >> n; LL res = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { LL x, y; cin >> x >> y; if (x == 0 || y == 0) continue; res ^= calc(x, y); } if (res) { cout << "Win" << endl; } else cout << "Lose" << endl; // sg[0] = 0; // for (int i = 1; i <= n; ++i) { // memset(vis, 0, sizeof vis); // for (int j = 1; j <= min(i, m); ++j) vis[sg[i - j]] = 1; // for (int j = 0; ; ++j) { // if (!vis[j]) { // sg[i] = j; // break; // } // } // printf("%d ", sg[i]); // } } int main() { #ifdef local freopen("data.txt", "r", stdin); // freopen("data.txt", "w", stdout); #endif int t; scanf("%d", &t); while (t--) work(); return 0; }
注意，sg值是4说明必胜，sg值是1也是说明必胜，但是两者是不等价的。
SG函数真的很好用，打表找下规律就马上出来了。
A - The game of Osho Gym - 101147A
http://codeforces.com/gym/101147/problem/A
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <assert.h> #define IOS ios::sync_with_stdio(false) using namespace std; #define inf (0x3f3f3f3f) typedef long long int LL; #include <iostream> #include <sstream> #include <vector> #include <set> #include <map> #include <queue> #include <string> #include <bitset> const int maxn = 50; int sg[maxn * maxn]; bool vis[maxn * maxn]; int calc(int n, int k) { if (k > n) return n & 1; if (k & 1) return n & 1; else { int dis = k - 2 + 3; if (n > dis) n %= dis; if (n <= k - 2) { return n & 1; } else { n -= k - 2; return n % 3; } } } void calcSg() { int n, k; scanf("%d%d", &n, &k); sg[0] = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { memset(vis, false, sizeof vis); int t = 1; for (t; t <= i; t *= k) { vis[sg[i - t]] = true; if (k == 1) break; } for (int j = 0; ; ++j) { if (!vis[j]) { sg[i] = j; break; } } } for (int i = 1; i <= n; ++i) { printf("%d ", sg[i]); } printf(" "); cout << endl; cout << calc(n, k) << endl; cout << sg[n] << endl; } void work() { int has; int res = 0; scanf("%d", &has); while (has--) { int n, k; scanf("%d%d", &k, &n); res ^= calc(n, k); // cout << n << " " << k << " " << calc(n, k) << " fff" << endl; } if (res) { printf("1 "); } else printf("2 "); } int main() { #ifdef local freopen("data.txt", "r", stdin); // freopen("data.txt", "w", stdout); #endif // calcSg(); freopen("powers.in", "r", stdin); int t; scanf("%d", &t); while (t--) work(); return 0; }
跪了，跪了一个晚上，做NYOJ 161 取石子 (四）
http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=161
想到了怎么打sg表，也打出来了，可是还是找不到规律。
然后居然发现是威佐夫博奕，差值 * (1.618) == mi就是必败态。
sg还是挺好打的，像以前一样枚举一维中取1、2、3、....、4。在第二维中取1、2、3、4、.....
两维同时取1、2、3、4...5
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cmath> #include <algorithm> #include <assert.h> #define IOS ios::sync_with_stdio(false) using namespace std; #define inf (0x3f3f3f3f) typedef long long int LL; #include <iostream> #include <sstream> #include <vector> #include <set> #include <map> #include <queue> #include <string> #include <bitset> const int maxn = 100 + 20; int sg[maxn][maxn]; bool vis[maxn * maxn]; int a, b; void calcSg() { int n, m; cin >> n >> m; for (int i = 0; i <= n; ++i) { sg[i][0] = 0 ^ i; } for (int i = 0; i <= m; ++i) { sg[0][i] = 0 ^ i; } for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= m; ++j) { // sg[i][j] = i ^ j; memset(vis, 0, sizeof vis); for (int t = 1; t <= min(i, j); ++t) { vis[sg[i - t][j - t]] = true; } for (int t = 1; t <= i; ++t) { vis[sg[i - t][j]] = true; } for (int t = 1; t <= j; ++t) { vis[sg[i][j - t]] = true; } for (int t = 0; ; ++t) { if (!vis[t]) { sg[i][j] = t; break; } } } } for (int i = 0; i <= n; ++i) { for (int j = 0; j <= m; ++j) { printf("%4d ", sg[i][j]); // cout << i << " " << j << " " << sg[i][j] << endl; } cout << endl; } } void work() { const double res = (sqrt(5.0) + 1) / 2; int mi = min(a, b); int mx = max(a, b); int dis = mx - mi; if ((int)(dis * res) == mi) { cout << "0" << endl; } else cout << "1" << endl; } int main() { #ifdef local freopen("data.txt", "r", stdin); // freopen("data.txt", "w", stdout); #endif // calcSg(); while (cin >> a >> b && (a + b)) work(); return 0; }