乘法逆元

乘法逆元

用途

在(oi)比赛中，比较常用的算法就是快速幂了，但是快速幂有一定的缺点比如他只能处理乘法，加法，减法，唯独不能处理除法，也很令人麻烦，此时就需要用到逆元的操作了,此若(axequiv1 (mod~{b})，且)(a)与(b)互质，那么我们就能定义: (x)为((a))的逆元，记为(a^{-1})，所以我们也可以称(x)为(a)的倒数，当我们快速幂的时候如果遇到(frac{a}{b}mod~~m)的情况，就可以将(frac{1}{b})换成(b)关于(m)逆元即(b'),这样就可以进行快速幂的运算了。

求法

乘法逆元共三种情况，每种情况都有其特有的优缺点。

1. 首先就是采用扩展欧几里得的方法来求同余方程，(ax equiv 1(mod~ b))这个式子可以等价于(ax+by=1)这个方程的解，所以我们只需求出(x)来就行。 (比较通用)

2. 其次就是采用费马小定理+快速幂来求，但是这个条件比较苛刻，需要上文中的(b)是个质数，这时我们根据费马小定理可以得出(a^{b-1}equiv 1(mod~b)) —> (a * a^{b-2} equiv 1(mod~b)) 此时(x)就是(a^{b-2})就是逆元，此时就可以用快速幂来解了。但是这个还是有点慢，不过在比赛中一般模数都是质数，所以也比较常用。

3. 当要处理比较多的数的时候，可以采用线性推的方法，这个在求多个数的逆元上比较舒服。首先我们需要推一下，首先我们有一个,(1 ^ {-1}equiv 1(mod p))然后设(p=k*i+r,r<i,1<i<p),再将这个式子放到(mod {p})意义下就会得到：

   (k*i+r equiv 0 (mod p))

   然后乘上(i^{-1}*r^{-1})就可以得到:

   (k*r^{-1}+i^{-1}equiv 0 (mod p))

   (i^{-1}equiv -k*r^{-1} (mod p))

   (i^{-1}equiv -lfloor frac{p}{i} floor*(p mod i)^{-1} (mod p))

   这种题不太常见，一般出现在多种数据之中，比如洛谷的模板