HDU2588--GCD（欧拉函数）

Problem Description

The greatest common divisor GCD(a,b) of two positive integers a and b,sometimes written (a,b),is the largest divisor common to a and b,For example,(1,2)=1,(12,18)=6.
(a,b) can be easily found by the Euclidean algorithm. Now Carp is considering a little more difficult problem:
Given integers N and M, how many integer X satisfies 1<=X<=N and (X,N)>=M.

Input

The first line of input is an integer T(T<=100) representing the number of test cases. The following T lines each contains two numbers N and M (2<=N<=1000000000, 1<=M<=N), representing a test case.

Output

For each test case,output the answer on a single line.

Sample Input

3
1 1
10 2
10000 72

Sample Output

1
6
260

Source

ECJTU 2009 Spring Contest

Recommend

lcy

题意：

题目意思很简单，在X∈[1~N],存在多少个X使得GCD(X,N)>=M，统计X符合要求的个数。

如果直接暴力遍历N次，每次操作的复杂度高达10^9,肯定会超时的。常规的方法肯定不行。

①首先，补充一下关于GCD()的一些基础知识。

　　1，如果GCD(a,b)=c，则可以知道GCD(a/c,b/c)=1;(  GCD(a,b)=c  <=>  GCD(a/c,b/c)=1  )

　　2，设GCD(a,b)=c，如果想要GCD(a,b*d)=c，用①_1可知，

　　　　只需满足GCD(a/c,(b/c)*d)=1即可（这个限制既为,满足最大公约数的要求）.

②然后，我们所要求的是GCD(X,N)>=M,也就是说我们要求一个GCD(X,N)=Z,的数，

　　1，如果M==1，则可以知道在[1,N]中任意数X的GCD(X,N)>=1,所以符合要求的个数为N。

　　2，如果M>1,则这个X一定是N的约数（大于1），或者是约数（大于1）的倍数 <--------- （只有如此，才能使得GCD（X,N）！= 1）

③再者，我们需要统计的数符合要求的X的个数呢？

　　1,正如②_2可以知道GCD(N,X)=X,能够使得GCD()=X的数有约数（大于1）及约数的倍数两部分组成,记这个约数为X，则GCD(N,X*q)=X     （q>=1）

　　只需要计算1~N中有多少个（X*q）即可。

　　2，由①_2可知，要使得GCD(N,X*q)=X，需要满足GCD(N/X,q)=1.也就是统计1~N/X中有多少个数与N/X互质。

求1~N中，有多少个与N互质的数，欧拉函数，SUM+=Eular(N/X);

④最后，如何不重复的统计其公约数为符合条件X的数呢?

只要X不相同，且满足③_2条件，qX就不会相同。

简单证明：

设有N的两个约数a,b 且a<=b, 若有q1*a=q2*b，则gcd（N/a, q1*b）= b或b的倍数 ！= 1     <-----------------  N/a含有因子b，而q1*b也有因子b

 

参考博客：http://www.cnblogs.com/LWF5201314614/p/4548132.html

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
int Eular(int N)
{
    int sign=1,i;
    for(i=2;i*i<=N;i++)
    {
        if(N%i==0)
        {
            N/=i;sign*=i-1;
            while(N%i==0)
            {N/=i;sign*=i;}
        }
    }
    if(N>1)
    sign*=N-1;
    return sign;
}
int main()
{
    int A,B,T,i,sign;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&A,&B);
        for(i=1,sign=0;i*i<=A;i++)/*分解约数*/
           if(A%i==0)       /*分解约数，同时判断两边*/
           {           /*如果为平方数则主需要判断一次*/
                if(i>=B)
                    sign+=Eular(A/i);
                if((A/i)!=i&&(A/i)>=B)/*判断是否为平方数*/
                    sign+=Eular(i);
           }
        printf("%d
",sign);/*输出答案*/
    }
    return 0;
}