#2019122600027 递归五题

目录

1 全排列

2 01背包

3 自然数拆分

4 页码统计

5 汉诺塔

1 全排列

生成从(1)到(n)的全排列

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[25];
bool vis[25];
int n;
int ans=0; 
void f(int x){
	if(x==n+1){
		ans++;
			for(int i=1;i<=n;i++){
				printf("%5d",a[i]);
			}
			printf("
");
		return;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(vis[i]==1) continue;
		bool q=1;
		if(q){
			vis[i]=1;
			a[x]=i;
			f(x+1);
			vis[i]=0;
		}
		
	}
	return ;
}
int main( ){
	scanf("%d",&n);
	f(1);
	printf("%d",ans); //...
	return 0;
} 

2 01背包问题

设一背包可容纳物品最大质量为(M)，现有(n)件物品，质量是(m_i(iin [1,n],iin N))，要从这些物品中挑选若干件，使得质量之和恰好是(K)，询问能否做到.

题解

用(knap(M,n))表示寻找的问题。
（1）先取最后一个物品(m_n)放入背包，如果(m_n=M)，则return true.
（2）若(m_n<M)，则(M-m_n<0)，如果还有可选物品。即为(n>1)，考虑(knap(M-m_n,n-1))是否有解，如果有就return true.否则(knap(M,n))转化为(knap(M,n-1))，即放弃最后一个物品，在前((n-1))个物品内考虑问题.
（3）若(m_n>M)，则第(n)件物品不能装入包中，这时如果还有可选物品，即(n>1)，那么(knap(M,n))转化为(knap(m,n-1))。

bool knap(int m,int n){
	if(m[n]==m) return true;
	else if(m[n]<m){
		if(n>1){
			if(knap(m-m[n],n-1)) return true;
			else return knap(m,n-1);
		}
		else return false;
	}
	else{
		if(n>1) return knap(m,n-1);
		else return false; 
	}
} 

3 自然数拆分

任何一个大于(1)的自然数(n)，总可以拆分成若干小于(n)的自然数之和，求出(n)的所有拆分.

题解

用数组(a)储存完成(n)的一种拆分，不完全归纳法的分析可知当(n=7)时，按照(a[1])分类，有(a[1]=1,a[1]=2,...,a[1]=dfrac{n}{2})，共(dfrac{n}{2})大类拆分。在每一类拆分时，(a[1]=i,a[2]=n-i)，从(x=2)，继续拆分从(a[x])开始，(a[x])能否拆分取决于(dfrac{a[x]}{2})是否大于等于(a[x-1])。递归过程的参数(t)指向要拆分的数(a[x])。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
void dfs(int t){
	int i,j,k;
	printf("%d=%d",n,a[1]);
	for(i=2;i<=t;i++){
		printf("+%d",a[i]);
	}
	printf("
");
	j=t;k=a[j];
	for(i=a[j-1];i<=k/2;i++){
		a[j]=i;
		a[j+1]=k-i;
	}
}
int main(){
	int i,j,k;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n/2;i++){
		a[1]=i;
		a[2]=n-i;
		dfs(2);
	}

4 页码统计

一本书的页码共(N)页，页码从(1)开始。请你求出全部页码中用了多少个(0,1,2,...,9)，其中不含前导(0)，即页码只能是(5)，而不是(0005).((Nleq 10^9))

题解

可以从连续数字本身的规律出发来进行统计，这样速度比较快，先不考虑多余的(0)的情况，假设从(0000-9999)，这一万个连续的数字，(0)到(9)用到的次数都是相同的，一万个四位数，(0)到(9)这十个数字共用了(40000)次，每个数字使用了(4000)次。

进一步推广，考虑所有(n)位数情况，从(n)个(0)到(n)个(9)，共(10n)个(n)位数，(0)到(9)十个数字平均使用，每个数字共用了(n*10^{n-1})

有了这样的规律后，可以从高位向低位进行统计，最后再减去多余的(0)的个数。

以(n=3657)为例；（用(count)数组来存放(0)到(9)各个数字的使用次数）

最高位（千位）为3，从0千、1千到2千，000~999重复了3次，