20201113 Day3 斜率优化

1 玩具装箱[HNOI2008]

solution

回到本题，设前缀和为(sum[i])，由题意易得dp方程：

[dp[i]=min(dp[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-L-1)^2) (j<i) ]

但这个方程是(O(n^2))的，显然不满足要求，因此需要进行优化

（以下称两点斜率为(slope(A,B))）

令(a[i]=sum[i]+i)，(b[i]=sum[i]+i+L+1)（这一步是为了简化计算）

则

[dp[i]=dp[j]+(a[i]-b[j])^2 ]

展开得

[dp[i]=dp[j]+a[i]^2-2 cdot a[i] cdot b[j]+b[j]^2 ]

移项得

[2 cdot a[i] cdot b[j]+dp[i]-a[i]^2=dp[j]+b[j]^2 ]

将(b[j])看作(x)，(dp[j]+b[j]^2)看作(y)，这个式子就可以看作一条斜率为(2 cdot a[i])的直线

而对于每个(i)来说，(a[i])都是确定的

接下来的步骤和线性规划很相似

(dp[i])的含义转化为：当上述直线过点(P(b[j],dp[j]+b[j]^2))时，直线在(y)轴的截距加上(a[i]^2)（一个定值）

而题目即为找这个截距的最小值

因此，类似线性规划，我们将这条直线从下往上平移，直到过一个符合要求的点时停下，此时截距即为最小

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
const int mod=1e4+7;
#define int long long
int read(){
	int a=0,op=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') a*=10,a+=c^48,c=getchar();
	return a*op;
}
int n,L;
double sum[maxn],dp[maxn];
int head,tail,q[maxn];
double a(int x){return sum[x]+x;}
double b(int x){return a(x)+L+1;}
double X(int x){return b(x);}
double Y(int x){return dp[x]+b(x)*b(x);}
double k(int A,int B){return (Y(A)-Y(B))/(X(A)-X(B));}
double d_read(){
	double p;scanf("%lf",&p);return p;
}
#undef int
int main(){
#define int long long
	n=read(),L=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) sum[i]=d_read(),sum[i]+=sum[i-1];
	head=tail=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&k(q[head],q[head+1])<2*a(i)) ++head;
		dp[i]=dp[q[head]]+(a(i)-b(q[head]))*(a(i)-b(q[head]));
		while(head<tail&&k(i,q[tail-1])<k(q[tail-1],q[tail])) --tail;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld
",(int)dp[n]);
	return 0;
}

2 任务安排

solution

方程:(f[i])代表前(i)个任务分成若干批产生的最小费用

转移:(f[i]=min_{i=0}^{i-1}(f[j]+t[i]*(c[i]-c[j])+S*(c[n]-c[j])))其中,t,ct,ct,c分别是任务时间和费用的前缀和的数组

考虑将状态转移方程化简： (f[j]=(S+t[i])*c[j]+f[i]-t[i]*c[i]-S*c[n])

注意：我们这里把(min)去掉了，是把(j)的取值集合所映射的(f[j])和(c[j])分别作为函数的(f(x))和(x)

那么这个一次函数的斜率(k)就等于((S+t[i]))，而截距(b)等于(f[i]-t[i]*c[i]-S*c[n])

我们想让这个(f[i])最小，那么其实就等价于(b)最小，在坐标系中，如果我们拿一个已知斜率的直线向上滑动，当它第一次碰见取值集合内的点((c[j],f[j]))时，就取到了它的最小值

code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
const int mod=1e4+7;
#define int long long
int read(){
	int a=0,op=1;char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') op=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9') a*=10,a+=c^48,c=getchar();
	return a*op;
}
int n,L;
double sum[maxn],dp[maxn];
double t[maxn],c[maxn];
int head,tail,s,q[maxn];
double d_read(){
	double p;scanf("%lf",&p);return p;
}
double k(int a,int b){return (dp[a]-dp[b])/(c[a]-c[b]);}
double b(int x){return t[x]*c[x]+s*c[n];}
double a(int x){return s+t[x];}

#undef int
int main(){
#define int long long
	n=read(),s=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) t[i]=d_read(),c[i]=d_read();
	for(int i=1;i<=n;i++) t[i]+=t[i-1],c[i]+=c[i-1];
	dp[0]=0;
	head=tail=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		while(head<tail&&k(q[head],q[head+1])<=a(i)) ++head;
		dp[i]=dp[q[head]]+b(i)-c[q[head]]*a(i);
		while(head<tail&&k(i,q[tail])<k(q[tail-1],q[tail])) --tail;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld
",(int)dp[n]);
	return 0;
}

3 摆渡车

solution

[underline{f_j + sum_j}_{ y} = underline{i_{_{}}}_{ k} imes underline{cnt_j}_{ x} + underline{(f_i - cnt_i imes i + sum_i)}_{ b} ]