最大流问题
设一个赋权有向图D=（V, E）,在V中指定一个发点vs和一个收点vt ,其它的点叫做中间点。对于D中的每一个弧（vi , vj）∈ E ,都有一个非负数 cij ，叫做弧的容量。我们把这样的图D叫做一个容量网络，简称网络，记做D=（V，E，C）。
流，即加在网络各条弧上的一组负载量。
例如：
如图，在这个运输网络中，源点S和汇点T分别是1,7，各边的容量为C(u,v)。图中红色虚线所示就是一个可行流。
残余网络 增广路径 反向弧
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残余网络
也许现在你已经知道什么是残余网络了，对于已经找到一条从S 到T的路径的网络中，只要在这条路径上，把 C(u,v) 的值更新为C(u,v) - P(u,v)，并且添加反向弧 C(v,u)。对应的增广路径 Path 为残留网络上从S到T的一条简单路径。例如：原图中1，2，4，7就是一条增广路径，当然还有1，3，4，7。
此外在未做任何操作之前，原始的有向图也是一个残余网络，它仅仅是未做任何更新而已。
最大流定理：如果残留网络上找不到增广路径，则当前流为最大流；反之，如果当前流不为最大流，则一定有增广路径。
Ford-Fulkerson方法
用Ford-Fulkerson方法求最大流。为什么叫Ford-Fulkerson方法而不是算法，原因在于可以用多种方式实现这一方法，方式并不唯一。下面介绍一种基于广度优先搜索(BFS)来计算增广路径P的算法：Edmonds-Karp算法。
算法流程如下：
设队列Q：存储当前未访问的节点，队首节点出队后，成为已检查的标点；
Path数组：存储当前已访问过的节点的增广路径；
Flow数组：存储一次BFS遍历之后流的可改进量；
Repeat:
Path清空；
源点S进入Path和Q，Path[S]<-0，Flow[S]<-+∞；
While Q非空 and 汇点T未访问 do
Begin
队首顶点u出对；
For每一条从u出发的弧(u,v) do
If v未访问 and 弧(u,v) 的流量可改进；
Then Flow[v]<-min(Flow[u],c[u][v]) and v入队 and Path[v]<-u；
End while
If(汇点T已访问)
Then 从汇点T沿着Path构造残余网络；
Until 汇点T未被访问
应该举例
入门题：http://poj.org/problem?id=1273
Description
Farmer John knows not only how many gallons of water each ditch can transport per minute but also the exact layout of the ditches, which feed out of the pond and into each other and stream in a potentially complex network.
Given all this information, determine the maximum rate at which water can be transported out of the pond and into the stream. For any given ditch, water flows in only one direction, but there might be a way that water can flow in a circle.
Input
Output
Sample Input
5 4 1 2 40 1 4 20 2 4 20 2 3 30 3 4 10
Sample Output
50
code:
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <memory.h>
const int M = 210;
const int INF = 0x7fffffff;
int E, V, map[M][M], flow[M], path[M], maxFlow;
int start, end; // 源点和汇点
std::queue<int> qu;
// BFS求出最短的增广路径
int bfs(){
int u , v;
while(!qu.empty()) qu.pop();
memset(path, -1, sizeof(path));
path[start] = 0;flow[start] = INF;
qu.push(start);
while(!qu.empty()){
u = qu.front();
qu.pop();
if(u == end) break;
for(v = 1; v <= V; ++v){
if(path[v] == -1 && map[u][v]){
qu.push(v);
path[v] = u;
flow[v] = flow[u] < map[u][v] ? flow[u] : map[u][v];
}
}
}
if(path[end] == -1) return -1;
return flow[V]; // 一次遍历之后的流量增量
}
void edmonds_karp(){
int step, pre, cur;
while((step = bfs()) != -1){
maxFlow += step;
cur = end;
while(cur != start){
pre = path[cur];
map[pre][cur] -= step; // 更新正向边的实际容量
map[cur][pre] += step; // 添加反向边
cur = pre;
}
}
}
int main(){
int k, u, v, c;
while(scanf("%d%d", &E, &V) != EOF){
memset(map, 0, sizeof(map));
for(k = 0; k < E; ++k){
scanf("%d%d%d", &u, &v, &c);
map[u][v] += c;
}
start = 1, end = V; //设定：源点和汇点
maxFlow = 0;
if(V == 1) printf("INF
");
edmonds_karp();
printf("%d
", maxFlow);
}
return 0;
}