题目3 : 活动中心
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描述
A市是一个高度规划的城市，但是科技高端发达的地方，居民们也不能忘记运动和锻炼，因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心，方便居住在A市的居民们能随时开展运动，锻炼强健的身心。
城市规划局希望活动中心的位置满足以下条件：
1. 到所有居住地的总距离最小。
2. 为了方便活动中心的资源补给和其他器材的维护，活动中心必须建设在A市的主干道上。
为了简化问题，我们将A市摆在二维平面上，城市的主干道看作直角坐标系平的X轴，城市中所有的居住地都可以看成二维平面上的一个点。
现在，A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。
输入
第一行包括一个数T，表示数据的组数。
接下来包含T组数据，每组数据的第一行包括一个整数N，表示A市共有N处居住地
接下来N行表示每处居住地的坐标。
输出
对于每组数据，输出一行“Case X: Y”，其中X表示每组数据的编号(从1开始)，Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上，任何与标准答案的绝对误差或者相对误差在10-6以内的结果都将被视为正确。
数据范围
小数据：1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10
大数据：1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 105
对于所有数据，坐标值都是整数且绝对值都不超过106
样例解释
样例1：活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)
- 样例输入
-
1 3 1 1 2 2 3 3
- 样例输出
-
Case 1: 1.678787
解析：构建目标函数 f(x)，最小值处导数等于 0，但是直接求解较困难。 又因为二次导数恒大于 0 ，故其导数变化应该是从负数到 0 到正数。（而目标函数则从递减到递增有最小值。）
求导数等于 0 时 x 的值。
二分法：
代码（有待查错：）
1 #include <iostream> 2 //#include <> 3 using namespace std; 4 struct{ 5 int x; 6 int y; 7 }points[100001]; 8 9 double derivative(int v, int N) 10 { 11 double ans = 0; 12 for(int i = 0; i < N; ++i) 13 { 14 double t = v - points[i].x; 15 double t2 = sqrt(t * t + points[i].y * points[i].y); 16 ans += t / t2; 17 } 18 return ans; 19 } 20 21 int main() 22 { 23 int T; 24 cin >> T; 25 for(int k = 0; k < T; ++k) 26 { 27 int a, b; 28 double xMin = 1000000, xMax = -1000000; 29 int N; 30 cin >> N; 31 for(int i = 0; i < N; ++i) 32 { 33 cin >> a >> b; 34 points[i].x = a; 35 points[i].y = b; 36 if(xMin > a) xMin = a; 37 if(xMax < a) xMax = a; 38 } 39 double yl = derivative(xMin, N); 40 double yh = derivative(xMax, N); 41 double xMid; 42 while(fabs(xMax - xMin) >= 1e-6) 43 { 44 xMid = (xMin + xMax) / 2; 45 double tem = derivative(xMid, N); 46 if(tem >= 0) 47 { 48 xMax = xMid; 49 yh = tem; 50 } 51 else 52 { 53 xMin = xMid; 54 yl = tem; 55 } 56 } 57 //cout << "Case " << k+1 << ": " << yh << endl; 58 printf("Case %d: %.6f", k+1, xMid); 59 } 60 return 0; 61 }