莫比乌斯反演专题学习笔记

莫比乌斯反演专题学习笔记

本文记录一些和莫反有关的内容的笔记

可能存在诸多谬误，阅读时请谨慎分析

若发现文中有谬误，如您愿意，恳请您向我指出，不胜感激！

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为什么要学莫比乌斯反演？

解决一类与狄利克雷卷积、整除、积性函数有关的问题，通过莫比乌斯反演，往往可以将复杂度优化到可接受的范围内

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积性函数

对于任意互质整数(a,b)有(f(ab)=f(a)f(b))的函数称为积性函数

对于任意整数(a,b)有(f(ab)=f(a)f(b))的函数称为完全积性函数

常见，重要的积性函数有：

欧拉函数(varphi(n))
莫比乌斯函数(mu(n))
狄利克雷卷积单位元(varepsilon=[n=1])
不变函数({f{1}}(n)=1)

狄利克雷卷积

函数(f,g)的狄利克雷卷积((f*g))定义如下

[(f*g)(n)=sum_{d|n}f(frac{n}{d})g(d) ]

狄利克雷卷积的单位元为(varepsilon=[n=1])（把它代入到狄利克雷卷积中，可以发现(f*varepsilon=f)）

莫比乌斯函数

莫比乌斯函数定义如下：

[mu(i)=egin{cases}1,& ext{if i = 1}\(-1)^k,& ext{if i=}p_1p_2p_3dots p_k(pin prime)\0,& ext{otherwise}end{cases} ]

下面证明莫比乌斯函数的狄利克雷卷积逆是不变函数，即

[mu*{f{1}}=varepsilon ]

以下过程引自【算法讲堂】【电子科技大学】【ACM】莫比乌斯反演

证明：设(n)的不同质因子的个数为(k)，则有

[mu*{f{1}}=sum_{d|n}mu(d)=sum_{i=0}^k(-1)^iegin{pmatrix}k\iend{pmatrix} ]

由二项式定理，有

[(x+y)^k=sum_{i=0}^kx^iy^{k-i}egin{pmatrix}k\iend{pmatrix} ]

令(x=-1,y=1)代入得

[0^k=sum_{i=0}^k(-1)^iegin{pmatrix}k\iend{pmatrix} ]

即

[mu*{f{1}}=varepsilon ]

证毕

由此，我们得到莫比乌斯函数的一个性质(sum_{d|m}mu(d)=[m=1])

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由于莫比乌斯函数具有积性，我们可以用线性筛来求出莫比乌斯函数

void GetPrime()
{
	nop[1]=1,mu[1]=1;
	for(register int i=2;i<=N;++i)
	{
		if(!nop[i])pri[++pcnt]=i,mu[i]=-1; 
		for(register int j=1;j<=pcnt && i*pri[j]<=N;++j)
		{
			nop[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
}

莫比乌斯反演

• [g(n)=sum_{d|n}f(d) ightarrow f(n)=sum_{d|n}mu(d)g(frac{n}{d}) ]

证明：

[g=f*{f{1}},mu*g=f*{f{1}}*mu=f ]

证毕

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• [g(n)=sum_{n|d}f(d) ightarrow f(n)=sum_{n|d}mu(frac{d}{n})g(d) ]

证明略

整除分块

整除分块可以以(O(sqrt n))的复杂度计算(sum_{i=1}^nlfloorfrac{n}{i} floor)

首先我们发现(lfloorfrac{n}{i} floor)至多只有(sqrt{2n})个取值，并且每个取值都是一段连续的“块”

对于每一块([l,r])，(forall iin[l,r])有(lfloorfrac{n}{i} floor=lfloorfrac{n}{l} floor)

并且，(r=n/(n/l))

我们只需要逐段计算即可

有时候，我们推出的式子可能还需要乘上一个函数，如(varphi,mu)等，这时候我们只需要先对函数求前缀和，每次计算一段时乘上这一段对应的函数之和即可

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
{
    r=n/(n/l);
    re+=(r-l+1)*(n/l);
//  re+=(sum[r]-sum[l-1])*(n/l);
}

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参考资料

【算法讲堂】【电子科技大学】【ACM】莫比乌斯反演https://www.bilibili.com/video/av43470417