python 树

# 树
# 非线性结构，每个元素可以有多个前驱和后继
# 树是n个元素的集合（n>=0）
# n=0时，称为空树
# 树只有一个特殊的没有前驱的元素，叫做根root
# 树中除了根节点外，其他元素只能有一个前驱，可以有多个后继

# 递归
# 树T是n个元素的集合（n>=0）。n=0时，称为空树
# 有且只有一个特殊元素根，剩余元素都可以划分为m个互不相交的集合T1、T2...Tm。而每一个集合都是树，称为T的子树

# 树的概念
# 结点：树中的元素
# 结点的度（degree）：结点拥有的子树的数目，记作d(v)
# 叶子节点：结点度为0，称为叶子结点leaf
# 分支结点：结点度不为0，称为分支结点
# 分支：结点之间的关系
# 内部结点：除根结点外的分支结点，当然也不包含叶子结点
# 度：树的度是树内各节点的度的最大值。D结点度最大为3，树的度就是3

# 子节点（child）：结点的子树的根结点称为该节点的孩子
# 双亲节点（parent）：一个结点是它各个子树跟结点的双亲
# 兄弟结点（sibling）：有同样父节点
# 祖先结点：从根节点到节点G所经过的分支上所有的结点，都是结点G的祖先
# 子孙节点：结点的所有子树上的结点都是子孙节点
# 结点的层次（level）：根结点为第一层、根的孩子为第二层，以此类推，记作L(v)
# 树的深度（depth）：树的层次的最大值
# 堂兄弟：双亲在同一层的结点

# 有序树：结点的子树是有顺序的，不能交换
# 无序树：结点的子树是无顺序的，可以交换
# 路径：从叶子结点链接到跟结点（保证前一个是吼一个的父节点）
# 路径长度：路径上节点数-1，也是分支数
# 森林：m（m>=0）棵不相交的树的集合
#   对于节点而言，其子树的集合就是森林。A结点的2棵子树的集合就是森林

# 树的特点
#   根唯一
#   子树不相交
#   除了根以外，每个元素只能有一个前驱，可以有多个后继
#   根节点没有双亲节点（前驱），叶子结点没有孩子结点（后继）
#   vi是vj的双亲，则L(vi) = L(vj)-1，也就是说双亲比孩子结点的层次小1

# 二叉树***
# 每个结点最多有2棵子树
#   二叉树不存在度数大于2的结点
# 它是有序树，左子树、右子树是顺序的，不能交换次序
# 即使某个结点只有一颗子树，也要确定它是左子树还是右子树
# 二叉树的5中基本形态
#   空二叉树
#   只有一个根结点
#   根结点只有左子树
#   根结点只有右子树
#   根结点有左子树和右子树

# 斜树（是二叉树）
# 左斜树，所有节点都只有左子树
# 右斜树，所有结点都只有右子树

# 满二叉树***
# 一棵二叉树的所有分支结点都存在左子树和右子树，且所有叶子结点只存在在最下面一层
# 同样深度的二叉树中，满二叉树结点最多
# k为深度（1=<k=<n）,则结点总数为2的k次方-1
#   一个深度为4的满二叉树，节点数为2^4-1=15

# 完全二叉树
# 若二叉树的深度为k，二叉树的层数从1到k-1层的结点数都达到了最大个数，在第k层的所有结点都集中在最左边，这就是完全二叉树
# 最后一层从左边开始放*
# 完全二叉树由满二叉树引出
# 满二叉树一定是完全二叉树，但完全二叉树不一定是满二叉树
# k为深度（1=<k=<n），则结点总数最大值为2的k次方-1，当达到最大值的时候就是满二叉树

# 二叉树的性质
# 1 在二叉树的第i层上，至少有2^(i-1)个结点（i>=1）
# 2 深度为k的二叉树，至少有2^k-1个结点（k>=1）
# 3 对任何一棵二叉树T，叶子结点数位n0，度数为1的结点数位n1，度数为2的结点数为n2
#   n0 = n2 + 1（即：叶子结点数 - 1 就等于度数为2的结点数）
#   总结点数n = n0 + n1 + n2
#   分支数 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1
#   分支数 = n0*0 + n1*1 + n2*2
#   所以 n0 + n1 + n2 - 1 = n0*0 + n1*1 + n2*2 ==> n2 = n0 - 1
# 4 高度为k的二叉树，至少有k个结点
# 5 含有n（n>=1）个结点的高度至多为n
# 6 含有n（n>=1）个结点的高度至少为math.ceil(log2(n+1))，向上取整
# 7 具有n个结点的完全二叉树的深度为int(log2n)或者math.ceil(log2(n+1))
# 8 具有n个结点的完全二叉树，结点按照层次编号
#   如果i=1，则结点i是二叉树的根结点
#   如果i>1，则其双亲是int(i/2)，向下取整
#   如果父结点是i，那么左孩子结点就是2i，右孩子结点是2i+1
#   如果2i>n，则结点i无左孩子，即结点i为叶子结点；否则其左孩子存在编号为2i
#   如果2i+1>n，则结点i无右孩子，注意这里并不能说明结点i没有左孩子；否则右孩子存在编号为2i+1