第二章-导数

1. 微分学
   1. 导数: 描述函数变化快慢
   2. 微分: 描述函数变化程度
2. 导数的概念
   1. 设函数y=f(x)在点x₀的某邻域内有定义, 若lim(x->x₀)f(x) - f(x₀) / x-x₀ = lim(Δx -> 0)Δy/Δx存在, 则称函数f(x)在点x₀处可导, 并称次极限为y=f(x)在点x₀的导数, 记作: y'|x=x₀; f'(x₀); dy/dx|x=x₀;df(x)/dx|x=x₀
   2. y'| x=x₀=f'(x₀) = lim(Δx->0)Δy/Δx= lim(Δx->0)f(x₀+Δx) - f(x₀) / Δx = lim(k->0)f(x₀ + h) - f(x₀) /h
   3. 在导数的定义中, 虽然x可以取区间I内的任何数值, 但在极限的过程中, x是常量, Δx或h是变量, 函数f(x)在点x₀处的导数f'(x₀)就是导函数f'(x)在点x=x₀除的函数值,即f'(x₀) = f'(x)|x=x₀
   4. (C)' = 0
   5. a^xlim(h->0)(a^h - 1)/h = a^xlna
   6. (e^x )'= e^x
   7. 一般幂函数 y = x^μ(μ为常数) (x^μ)' = μx^μ-1
   8. (sinx)' = cosx
   9. (cosx)' = -sinx
   10. (lnx)' = 1/x
   11. (tanx)' = sec²x
   12. (cscx)' = -cscxcotx
   13. (cotx)' = -csc²x
   14. (secx)' = secxtanx
   15. (xu)' = (eulnx)' x (ulnx)' = (x^u ) x (u/x) = ux^u-1
   16. (x^x)' = (e^xlnx)' = (e^xlnx) x (xlnx)' = x^x(lnx+1)
   17. (shx)' = (e^x - e^-x)/2 = (e^x + e^-x)/ 2 = chx 
   18. (arctanx)' = 1/(1+x²)
   19. (arcsinx)' = 1/(1-x²)^1/2
   20. (arccosx)' = -1/(1-x²)^1/2
   21. (arccotx)' = -x/(1+x²)
   22. secx = 1/cosx
   23. cscx = -1/sinx
   24. sin(x)⁽ⁿ⁾ = sin(x+n/2π)
   25. cos(x)⁽ⁿ⁾ = cos(x+n/2π)
3. 导数的几何意义
   1. 曲线y=f(x)在点(x₀,y₀)的切线斜率为: tanα = f'(x₀)
   2. 若f'(x₀) > 0,曲线过(x₀, y₀)上升;
   3. 若f'(x₀) < 0,曲线过(x₀,y₀)下降;
   4. 若f'(x₀) = 0,切线与x轴平行, x₀称为驻点;
   5. 若f'(x₀) = ∞, 切线与x轴垂直.
   6. f'(x) ≠ ∞时, 曲线在点(x₀, y₀)处的:
      1. 切线方程: y - y₀ = f'(x₀)(x-x₀)
      2. 法线方程: y - y₀ = - 1/f'(x₀)(x-x₀)
4. 函数的可导性与连续性的关系
   1. 定理1: f(x)在点x处可导 ==> f(x)在点x处连续
5. 单侧导数
   1. 定义2: 设函数y=f(x)在点x0的某个右(左)领域内有定义, 则说明该函数在点x₀处的右(左)导数记作f_'+(x₀)*f'_(x⁰)
   2. 定理2: 函数y=f(x)在点x0可导的充分必要条件是f'+(x₀)与f'_(x)存在, 且f'+(x₀) = f'_(x₀)
   3. 定理3: 函数f(x)在点x₀除右(左)导数存在==> f(x)在点x₀必右(左)连续, 若函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 且f'₊(a)与f'_(b)都存在, 则称f(x)在闭区间[a,b]上可导
6. 四则运算求导法则
   1. 定理1: 函数u= u(x)及v = v(x)的和,差,积,商(除分母为0的点外)都在点x可导, 且
      1. [u(x) ± (x)]' = u(x)' ± v(x)'
      2. [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
      3. [u(x)/v(x)]' = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / v²(x) (v(x) ≠ 0)
   2. 推论:
      1. (Cu)' = Cu' (C为常数)
      2. (uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'
      3. (log_ax)' = [inx / ina] = 1/xlna
      4. (C/v)' = -Cv' / v² (C为常数)
      5. (u + v -w)' = u' + v' - w'
   3. 定理2: u = g(x)在点x可导, y=f(u)在点u=g(x)可导 ==> 复合函数 y = f[g(x)]在点x可导, 且dy/dx = f'(u)g'(x)
   4. 推论: y = f(u), u=Φ(x), v=Ψ(x)
      1. dy/dx = (dy/du) _{^{x (du/dv) x (dv/dx) = f'}}(u) x Φ'(v) x Ψ'(x)
7. 高阶导数
   1. 若函数y=f(x)的导数为y' = f'(x)可导,则称f'(x)的导数为f(x)的二阶导数,记作y''或d²y/d²x, 即y'' = (y')'或d²y/d²x=d/dx(dy/dx)
   2. 类似的, 二阶导数的导数称为三阶导数, 以此类推, n-1阶导数称为n阶导数, 分别记作: y''', y⁽⁴⁾, ..., y⁽ⁿ⁾
8. 高阶导数的运算法则
   1. 设函数u = u(x)及v=v(x)都有n阶导数, 则
      1. (u±v)⁽ⁿ⁾ = u⁽ⁿ⁾ ± v⁽ⁿ⁾
      2. (Cu)⁽ⁿ⁾ = Cu⁽ⁿ⁾ (C为常数)
      3. (uv)(n) = u⁽ⁿ⁾v + nu^(n-1)v' + n^(n-1)/2! u^(n-2)v'' + ...+ [n(n-1)...(n-k+1)] / k! u^(n-k)v^(k) +...+ uv⁽ⁿ⁾    ===> 莱布尼兹公式
9. 隐函数导数的概念
   1. 若方程F(x,y) = 0, 可确定y是x的函数, 则称次函数为隐函数, 由y=f(x)表示的函数,称为显函数
   2. 说明: 
      1. 对幂指函数 y=u^v可用对数求导法求导 
10. 微分中值定理与导数的应用
    1. 罗尔中值定理
       1. y=f(x)满足:
          1. 在区间[a,b]上连续
          2. 在区间(a,b)内可导
          3. f(a) = f(b)
       2. 在(a,b)内至少存在一点ξ,使f'(ξ) = 0
    2. 定理的条件使充分的, 可推广为:
       1. y = f(x)在(a,b)内可导, 且lim(x->a⁺)f(x) = lim(x->b^-)f(x)在(a,b)内至少存在一点ξ, 使得f'(ξ) = 0
    3. 证明提示:
       1. 设F(x) = 
          1. f(a⁺), x = a
          2. f(x), a<x<b
          3. f(b^-),x=b
       2. 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理
    4. 拉格朗日中值定理
       1. y = f(x)满足:
          1. 在区间[a,b]上连续
          2. 在区间(a,b)内可导
       2. ==>至少存在一点ξ€(a,b),使f'(ξ)=[f(b) - f(a)] / (b-a)
11. 洛必达法则
    1. 0/0型未定式
       1. 定理1>
          1. lim(x->a)f(x) = limF(x)=0
          2. f(x)与F(x)在U(a)内可导,且F'(x)≠0
          3. lim(x->0)f'(x)/F'(x)存在(或为∞)
          4. ==> lim(x-a)f(x)/F(x) = lim(x->a)f'(x)/F'(x)     (洛必达法则)
       2. 推论1:
          1. 定理1中x->a换为, x->a+, x->a-, x->∞, x->+∞, x->-∞, 定理1仍然成立
       3. 推论2:, 若limf'(x)/F(x)扔属于0/0型, 且f'(x),F'(x)满足定理1条件, 则
          1. limf(x)/F(x) = limf'(x)/F'(x) = limf''(x)/F''(x)
    2. ∞/∞未定式
       
       1. 定理2:
          1. lim(x->a)|f(x)|=lim(x->a)|F(x)|=∞
          2. f(x)与F(x)在U(a)内可导, 且F'(x)≠0
          3. lim(x->a)f'(x)/F'(x)存在(或为∞)
          4. ==>lim(x->a)f(x)/F(x) = lim(x->a)f''(x)F'(x)
    3. 使用洛必达法则需要注意的几个问题
       1. 使用洛必达法则之前, 应该先检验其条件是否满足
       2. 如果使用洛必达法则之后, 命题仍是未定型极限,且符合洛必达法则的条件,可以再次使用洛必达法则
       3. 如果'0/0'型或者'∞/∞'极限中含有非零因子, 该非零因子可以单独求极限, 不必参与洛必达法则运算, 以简化运算
       4. 如果能进行等价无穷小代换或恒等变形配合使用洛必达法则,也可以简化运算
12. 函数的单调性与曲线的凹凸性
    1. 定理1: 设函数f(x)在开区间I内可导, 若f'(x)>0, (f'(x)<0), 则f(x)在I内单调递增(递减)
13. 曲线的凹凸与拐点
    1. 定义: 设函数f(x)在区间I上连续, 任意x₁, x₂€I
       1. 若恒有f[(x₁+x₂)/2] < [f(x₁) + f(x₂)] / 2,则称f(x)的图形使凹的
       2. 若恒有f[(x₁+x₂)/2] > [f(x₁) + f(x₂)] / 2,则称f(x)的图形使凸的
       3. 连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点
    定理2: (凹凸判定法)设函数f(x)在区间I上由二阶导数
    1. 在I内f''(x)>0, 则f(x)在I内图形是凹的;
    2. 在I内f''(x)<0, 则f(x)在I内图形是凸的.
    2. 说明:
       1. 若在某点二阶导数为0, 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变
       2. 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
          1. 若曲线y=f(x)在点x₀连续, f''(x)=0或不存在,但f''(x)在x₀两侧异号, 则点(x_0, f(x₀))是曲线y=f(x)的一个拐点
14. 函数的极值与最大值最小值
    1. 函数的极值极其求法. 定义: 设函数f(x)在(a,b)内有定义, x₀ € (a,b),若存在x0的一个邻域, 在其中当x≠x₀时,
       1. f(x) < f(x₀), 则称x0为f(x)的极大值点, 称f(x₀)为函数的极大值;
       2. f(x)>f(x₀),则称x0围殴f(x)的极小值点, 称f(x₀)为函数的极小值.
       3. 极大值与极小值统称为极值点
    2. 定理1: 设函数f(x)在x₀的某邻域内连续, 且在空心邻域内有导数, 当x由小到大通过x₀时,
       1. f'(x)"左正由负", 则f(x)在x₀取极大值
       2. f'(x)"左负右正", 则f(x)在x₀取极小值
    3. 定理2: 设函数f(x)在点x₀处具有二阶导数, 且f'(x0)=0, f''(x)≠0
       1. 若f''(x₀)<0, 则f(x)在点x₀取极大值
       2. 若f(x₀)>0, 则f(x)在点x₀取极小值