BZOJ3142 [Hnoi2013]数列

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Description

小 T最近在学着买股票，他得到内部消息：F公司的股票将会疯涨。股票每天的价格已知是正整数，并且由于客观上的原因，最多只能为N。在疯涨的K天中小T观察到：除第一天外每天的股价都比前一天高，且高出的价格（即当天的股价与前一天的股价之差）不会超过M，M为正整数。并且这些参数满足M(K- 1)<N。
小T忘记了这K天每天的具体股价了，他现在想知道这K天的股价有多少种可能

Input

只有一行用空格隔开的四个数：N、K、M、P。对P的说明参见后面“输出格式”中对P的解释。
输入保证20%的数据M,N,K,P≤20000，保证100%的数据M,K,P≤109，N≤1018 。

Output

仅包含一个数，表示这K天的股价的可能种数对于P的模值。

Sample Input

7 3 2 997

Sample Output

16
【样例解释】
输出样例的16表示输入样例的股价有16种可能：
{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，3，5}， {2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{2，4，6}， {3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，5，7}，{4，5，6}，{4，5，7}，{4，6，7}，{5，6，7}

正解：组合数学

解题报告：

　　这道题是一道很好的组合数学题，正好为我这种蒟蒻提供数学新思路...

　　首先我们考虑如果我们按照枚举每天的股价这个思路的话，显然是行不通的，因为股价的确定除了枚举，并没有什么很好的思路。所以只能另辟蹊径。

　　题目中说到了每天的增长状况，也就是在提醒我们这是一种很好的思路。考虑原数列我们用A表示，我们令ai=Ai+1-Ai，那么∑ai（1<=i<=k-1）=Ak-A1，然而A1是未知的，而且Ak<=n，那么我们可以发现A1的取值范围其实是可以得出来的，就是[1,n-∑ai]之间。那么我们考虑如果我们确定了一个a的数列，我们只能确定变化趋势，也就是说A1和a序列共同决定了这个序列的原本的样子，所以假如我们确定了a数列，可以得到的原数列有n-∑ai种。而a序列根据组合数学，一共有m^k-1种可能性，所以我们可以发现整个序列一共有m^k-1*(n-∑ai)种可能。

　　然后我们可以发现n可以先提出来，变成m^k-1*n-m^k-1*∑ai，然后a序列怎么考虑呢，因为一共只可能有m种取值，所以把所有的可行的a序列（长度均为k-1）列举出来，有m^k-1*(k-1)。因为每个取值的出现次数相等，所以每个数字出现了m^k-2*(k-1)。然后根据等差数列提一下公因式可以得出来的。

　　注意几个问题：取模的时候注意不要炸了中间值！有除法的一定要谨慎！

　　具体代码如下：

 1 //It is made by jump~
 2 #include <iostream>
 3 #include <cstdlib>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdio>
 6 #include <cmath>
 7 #include <algorithm>
 8 #include <ctime>
 9 #include <vector>
10 #include <queue>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 using namespace std;
14 typedef long long LL;
15 const int inf = (1<<30);
16 LL n,k,m,p,ans;
17 
18 inline LL getint()
19 {
20     LL w=0,q=0; char c=getchar();
21     while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar(); 
22     while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
23 }
24 
25 inline LL fastpow(LL a,LL b){
26     if(b==1) return a;   LL x=1;
27     while(b>0) {
28     if(b&1) x*=a,x%=p;
29     a*=a; a%=p;
30     b>>=1;
31     }
32     return x;
33 }
34 
35 inline void work(){
36     n=getint();  k=getint(); m=getint(); p=getint(); n%=p; m%=p;
37     LL nn=fastpow(m,k-1);
38     ans=nn;  ans*=n; ans%=p; 
39     nn=fastpow(m,k-2);
40     nn*=(k-1); nn%=p; 
41     nn*=((m+1)*m/2)%p; nn%=p;     
42     ans-=nn; ans%=p; ans+=p; ans%=p;
43     printf("%lld",ans);
44 }
45  
46 int main()
47 {
48     work();
49     return 0;
50 }