历年NOI/省选【水题】解题报告：NOI2012-随机数生成器

NOIp又一次考完了，省选又一次逼近了。

题目描述

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机数Xn：

Xn+1=(aXn+c) mod m

其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。

用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。

栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道X[n]是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,…,g-1之间的，他需要将X[n]除以g取余得到他想要的数，即X[n] mod g，你只需要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就可以了。

【输入格式】

输入文件randoma.in中包含6个用空格分割的整数m,a,c,X[0],n和g，其中a,c,X[0]是非负整数，m,n,g是正整数。

【输出格式】

输出到文件randoma.out中，输出一个数，即X[n] mod g

【样例输入】

11 8 7 1 5 3

【样例输出】

2

分析

应该算是省选-NOI中的SB题了吧……首先看

Xn+1=(aXn+c) mod m

由于mod先后无所谓，为了推理方便忽视之
不难发现：Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai
证明如下：
1. 归纳初始n = 0，显然
2. 归纳假设Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai=X0an+c(an−1)a−1，则

Xn+1=a(X0an+c(an−1)a−1)+c=X0an+1+c(an+1−a)a−1+c(a−1)a−1=X0an+1+c(an+1−1)a−1

由于归纳原理，原命题得证。

几个细节：
1. 由于m很大，为了避免相乘时溢出需要手写二分加法模拟乘法。
2. 对于Xn=X0×an+c×∑n−1i=0ai，左式可以用快速幂，右式则可以二分处理。注意到1+a+a2+a3+a4+a5，可以先处理p=1+a+a2，则原式=p+p×a3。
3. 复杂度为O((lgn)3)。

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

long long m, a, c, seed, n, g;
long long gcd(long long a, long long b)
{
        return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

long long times(long long a, long long b, long long m)
{
        if (b == 0) return 0;
        long long p = times(a, b>>1, m);
        p = (p+p)%m;
        if (b&1)
                p = (p+a)%m;
        return p;
}

long long power(long long a, long long b)
{
        if (b == 0) return 1;
        long long p = power(a, b>>1);
        p = times(p, p, m);
        if (b&1)
                p = times(p, a, m);
        return p%m;
}

long long cnt(long long n)
{
        if (n == 0)
                return 1;
        long long p = cnt((n-1)>>1);
        p = (p+times(p, power(a, ((n-1)>>1)+1), m))%m;
        if (!(n&1))
                p = (p+power(a, n))%m;
        return p%m;
}

int main()
{
        freopen("randoma.in", "r", stdin);
        freopen("randoma.out", "w", stdout);
        cin >> m >> a >> c >> seed >> n >> g;
        long long ans;
        if (a == 1)
                ans = times(seed, power(a, n), m)+times(c, n, m);
        else {
                ans = (times(seed, power(a, n), m)+times(c, cnt(n-1), m))%m;
        }
        cout << ans%m%g << endl;
        return 0;
}

ELSE

其实用矩阵也可以处理，不过没有必要，数据小。