XNA数学库

XNA Math Vectors

在direct3D 9 和10中，包含3D数学库的D3DX库支持向量和其他核心类型的计算。在direct11中，D3DX库不在包含3D数学库，取而代之的是XNA数学库。XNA利用的是特殊的硬件寄存器。在windows环境中，XNA
数学库使用SSE2（Streaming SIMD Extension 2）指令集。它使用128-bits大小的SIMD（single instruction multiple data）寄存器，可以用一个指令操作4个32-bits浮点型数据或整型数据。
例如：u + v = (ux + vx, uy + vy, uz + vz)
我们用3个加法指令将每个分量加起来。但通过使用SIMD，我们可以只用一个SIMD指令做4D向量加法，而不是用4个标量指令。如果你操作3D向量，我们仍然可以使用SIMD，
我们只需将向量的第四个分量置为0并且忽略它。在2D中类似。
为了使用XNA数学库，我们只需添加头文件#include<xnamath.h> 。当然，你也可以通过包含头文件#include<d3dx10.h>，并且链接静态库d3dx10.lib使用D3DX10数学库。

在XNA数学库中，关键的向量类型是XMVECTOR. 它是一个128-bits类型，可以被单个SIMD指令处理。
它被这样定义:

typedef __m128 XMVECTOR;

这里，__m128是一个特殊的SIMD类型。对于类数据成员，最好使用XMFLOAT2,XMFLOAT3,XMFLAOT4。它们被如下定义：

typedef struct _XMFLOAT4
{
    FLOAT x;
    FLOAT y;
    FLOAT z;
    FLOAT w;
}XMFLOAT4;

然而，如果我们直接使用这些类型进行计算，将不能利用SIMD硬件。我们需要将这些类型的实例转化为XMFLOAT类型。这些是XNA载入函数（loading functions）的工作。相反地，XNA还提供存储函数（storage functions）将
XMVECTOR转化为XMFLOAT*类型。

Loading 和 Storage 函数

Loading函数：

XMVECTOR XMLoadFloat2(CONST XMFLOAT2 *pSource); // 将XMFLOAT2转化为XMVECTOR类型
XMVECTOR XMLoadFloat3(CONST XMFLOAT3 *pSource); // 将XMFLOAT3转化为XMVECTOR类型
XMVECTOR XMLoadFloat4(CONST XMFLOAT4 *pSource); // 将XMFLOAT4转化为XMVECTOR类型

还有很多方法将其他类型转化为XMVECTOR类型，下面是一些例子：

XMVECTOR XMLoadInt3(CONST UINT* pSource);    // Loads 3-element UINT array into XMVECTOR
XMVECTOR XMLoadColor(CONST XMCOLOR *pSource);    // Loads XMCOLOR into XMVECTOR
XMVECTOR XMLoadByte4(CONST XMBYTE4 *pSource);    // Loads XMBYTE4 into XMVECTOR

Storage函数：

VOID XMStoreFloat2(XMFLOAT2 *pDestination,FXMVECTOR V); // 将XMVECTOR转化为XMFLOAT2类型

还有很多方法将XMVECTOR转化为其他类型，下面是一些例子：

VOID XMStoreInt3(UINT* pDestination, FXMVECTOR V);
VOID XMStoreColor(XMCOLOR* pDestination, FXMVECTOR V);
VOID XMStoreByte4(XMBYTE4 *pDestination, FXMVECTOR V);

有时，我们只想获取或者设置XMVECTOR的一个分量，可以使用下面的函数完成：

FLOAT XMVectorGetX(FXMVECTOR V);
XMVECTOR XMVectorSetX(FXMVECTOR V,Float x);

传递参数的规则

为了利用SIMD，将参数传递给XMVECTOR类型的函数有一些规则需要遵守，这些规则根据平台的不同而不同。尤其是32-bit Windows、64-bit Windows和XBOX 360. 为了独立于平台，
我们使用类型CXMVECTOR和FXMVECTOR传递XMVECTOR的参数。对于Windows，它们被定义如下：

// 32-bit Windows
typedef const XMVECTOR FXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR& CXMVECTOR;
// 64-bit Windows
typedef const XMVECTOR& FXMVECTOR;
typedef const XMVECTOR& CXMVECTOR;

它们的不同点是，我们可以直接传递XMVECTOR的副本还是我们必须传递一个引用。现在，传递XMVECTOR参数的规则如下：
前三个XMVECTOR参数应该是FXMVECTOR类型，后面的为CXMVECTOR类型。

XMINLINE XMMATRIX XMMatrixTransformation(
    FXMVECTOR ScalingOrigin,
    FXMVECTOR ScalingOrientationQuaternion,
    FXMVECTOR Scaling,
    CXMVECTOR RotationOrigin,
    CXMVECTOR RotationQuaternion,
    CXMVECTOR Translation);

注意，你可以拥有非XMVECTOR类型的参数，前面的规则仍然有效：

XMINLINE XMMATRIX XMMatrixTransformation2D(
FXMVECTOR ScalingOrigin,
FLOAT ScalingOrientation, // FLOAT类型
FXMVECTOR Scaling,
FXMVECTOR RotationOrigin,
FLOAT Rotation, // FLOAT类型
CXMVECTOR Translation);

对于常量XMVECTOR实例，我们应该使用XMVECTORF32类型存储浮点型向量。这儿有一些例子：

static const XMVECTORF32 g_vZero = { 0.0f, 0.0f, 0.0f, 0.0f };

XMVECTORF32 vRightTop = {
vViewFrust.RightSlope,
vViewFrust.TopSlope,
1.0f,1.0f
};

使用XMVECTORU32存储整型向量:

static const XMVECTORU32 vGrabY = {
0x00000000,0xFFFFFFFF,0x00000000,0x00000000
};

XNA数学库定义了一些与PI有关的常量：

#defineXM_PI 3.141592654f
#defineXM_2PI 6.283185307f
#defineXM_1DIVPI 0.318309886f // 1/PI
#defineXM_1DIV2PI 0.159154943f // 1/2PI
#defineXM_PIDIV2 1.570796327f // PI/2
#defineXM_PIDIV4 0.785398163f // PI/4

它还定义了如下内联函数用来在角度和弧度之间进行转换：

XMFINLINE FLOAT XMConvertToRadians(FLOAT fDegrees)
{
    return fDegrees*(XM_PI/180.0f);
}

XMFINLINE FLOAT XMConvertToDegrees(FLOAT fRadians)
{
    return fRadians*(180.0f/XM_PI);
}

它也定义了最大最小宏：

#define XMMin(a,b) (((a) < (b)) ? (a) : (b))
#define XMMax(a, b) (((a) > (b)) ? (a) : (b))

XNA数学库提供了下列函数来设置XMVECTOR的内容：

XMVECTOR XMVectorZero(); // 返回0向量(0,0,0,0)
XMVECTOR XMVectorSplatOne(); // 返回向量(1, 1, 1, 1)
XMVECTOR XMVectorSet(FLOAT x, FLOAT y, FLOAT z,FLOAT w); // 返回向量(x, y, z, w)
XMVECTOR XMVectorReplicate(FLOAT s); // 返回向量(s, s, s, s)
XMVECTOR XMVectorSplatX(FXMVECTOR V);// 返回向量(vx, vx, vx,vx)
XMVECTOR XMVectorSplatY(FXMVECTOR V);// 返回向量(vy, vy, vy,vy)
XMVECTOR XMVectorSplatZ(FXMVECTOR V);// 返回向量(vz, vz, vz,vz)

一些向量计算的函数：（下面为3D的例子，2D,4D同理，只需将函数名中的3替换为2、4）

XMVECTOR XMVector3Length(FXMVECTOR V);    // Returns || v ||
XMVECTOR XMVector3LengthSq(FXMVECTOR V); // Returns || v ||的二次方
XMVECTOR XMVector3Dot(FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);    // Returns v1 • v2
XMVECTOR XMVector3Cross(FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);    //Returns v1 × v2
XMVECTOR XMVector3Normalize(FXMVECTOR V);    // Returns v/|| v ||
XMVECTOR XMVector3Orthogonal(FXMVECTOR V);    // Returns a vector orthogonal to v
XMVector3AngleBetweenVectors(FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);    // Returns the angle between v1 and v2
VOID XMVector3ComponentsFromNormal(XMVECTOR* pParallel,XMVECTOR* pPerpendicular, FXMVECTOR V, FXMVECTORNormal);    // Returns projn(v)// Returns prepn(v)
BOOL XMVector3Equal(FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);    // Returns v1 = v2
BOOL XMVector3NotEqual(FXMVECTOR V1, FXMVECTOR V2);    // Returns v1 ≠ v2

还有一些估算方法，如果你不在乎精确度，而在乎速度，可以使用如下函数：

MFINLINE XMVECTOR XMVector3LengthEst(XMVECTOR V); // Returns estimated || v ||
MFINLINE XMVECTOR XMVector3NormalizeEst(XMVECTOR V); // Returns estimated v/|| v ||

众所周知，浮点数的操作结果是不精确的。
可以定义一个阙值来解决：

const float Epsilon = 0.001f;
bool Equals(float lhs, float rhs)
{
return fabs(lhs - rhs) < Epsilon ? true : false;
}

在XNA数学库中有类似的函数：XMVector3NearEqual()

// Returns
// abs(U.x – V.x) <= Epsilon.x &&
// abs(U.y – V.y) <= Epsilon.y &&
// abs(U.z – V.z) <= Epsilon.z
XMFINLINE BOOL XMVector3NearEqual(
FXMVECTOR U,
FXMVECTOR V,
FXMVECTOR Epsilon);

为了在XNA数学库中表示4x4矩阵，我们使用XMMATRIX类，它被这样定义：

union
{    
    XMVECTOR r[4];
struct
{
    FLOAT _11, _12, _13, _14;
    FLOAT _21, _22, _23, _24;
    FLOAT _31, _32, _33, _34;
    FLOAT _41, _42, _43, _44;
};
    FLOAT m[4][4];
};

正如上面定义的，XMMATRIX被用4个使用SIMD的XMVECTOR实例表示。
除了使用各种各样的构造函数，XMMATRIX还可以通过XMMatrixSet函数创建：

XMMATRIX XMMatrixSet(
FLOAT m00,FLOAT m01,FLOAT m02,FLOAT m03,
FLOAT m10,FLOAt m11,FLOAT m12,FLOAT m13,
FLOAt m20,FLOAt m21,FLOAT m22,FLOAT m23,
FLOAT m30,FLOAT m31,FLOAT m32,FLOAT m33);

正如前面讲过的，我们在类数据成员的表示中，通常被推荐使用XMFLOAT2,XMFLOAT3,XMFLOAT4，同样，在表示类数据成员时，我们被推荐使用XMFLOAT4x4类型存储矩阵。

XNA数学库中包括下面与矩阵有关的函数：

XMMATRIX XMMatrixIdentitu();    // 返回单位矩阵 I
Bool XMMatrixIsIdentity(CXMMATRIX M);    // 如果M为单位矩阵，返回true
XMMATRIX XMMatrixMultiply(CXMMATRIX A,CXMMATRIX B);    // 返回 矩阵A,B的乘积
XMMATRIX XMMatrixTranspose(CXMMATRIX M);    // 返回矩阵M的转置矩阵
XMVECTOR XMMatrixDeterminant(CXMMATRIX M);    // 返回向量(det M,det M,det M,det M)
XMMATRIX XMMatrixInverse(XMVECTOR* pDeterminant,CXMMATRIX M);    // 返回矩阵M的逆矩阵

XMMATRIX参数的类型应该为CXMAATRIX，这将保证XMMATRIX参数在Windows和Xbox平台上被正确传递。

XNA中的变换函数：

XMMATRIX XMMatrixScaling(
FLOAT ScaleX,
FLOAT ScaleY,
FLOAT ScaleZ); // 缩放函数
XMMATRIX XMMatrixScalingFromVector(
FXMVECTOR Scale); // //Constructs a scaling matrix from components in vector
XMMATRIX XMMatrixRotationX(
FLOAT Angle); // 绕X轴旋转
XMMATRIX XMMatrixRotationY(
FLOAT Angle); // 绕Y轴旋转
XMMATRIX XMMatrixRotationZ(
FLOAT Angle); // 绕Z轴旋转
XMMATRIX XMMatrixRotationAxis(
FXMVECTOR Axis,
FLOAT Angle); // 绕任意轴n旋转
XMMATRIX XMMatrixTranslation(
FLOAT OffsetX,
FLOAT OffsetY,
FLOAT OffsetZ); // 平移矩阵
XMMATRIX XMMatrixTranslationFromVector(
FXMVECTOR Offset); // Constructs a translation matrix from components in a vector
XMVECTOR XMVector3Transform(
FXMVECTOR V,
CXMMATRIX M); //计算向量V和矩阵M的积
XMVECTOR XMVector3TransformCoord(
FXMVECTOR V,
CXMMATRIX M); //Computes the vector-matrix product vM where vw = 1 for transforming points
XMVECTOR XMVector3TransformNormal(
FXMVECTOR V,
CXMMATRIX M); //Computes the vector-matrix product vM where vw = 0 for transforming vectors

注意：最后两个函数XMVector3TransformCoord()和XMVector3TransformNormal()，你不需要明确地指定vw=1 或者 vw =0，因为函数会自动完成。