《剑指offer》--- 整数中1出现的次数

本文算法使用python3实现

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1. 问题

  求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。
  时间限制：1s；空间限制：32768K

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2 思路描述

  方法一：暴力解法（当数字较小时可以，数字很大时不可取）
  方法二：观察规律（在此我们将题目拓展成整数中 $ X $ 出现的次数，$ X in lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9 brace $ ）
    （1）在 $ [1 , 10] $ 中 ，个位上 $ X $ 出现的次数为 $ 1 $ 。
    （2）在 $ [11 ,100] $ 中，十位上 $ X $ 出现的次数为 $ 10 $ 。
    （3）在 $ [101,1000] $ 中，百位上 $ X $ 出现的次数为 $ 100 $ 。
    （4）以此类推，在 $ [10^i+1, 10^{(i+1)}] $ 上，从右数第 $ i $ 位上 $ X $ 出现的次数为 $ 10^{(i-1)} $ 。
    而 $ [1,n] $ 中第 $ i $ 位上 $ X $ 出现的次数规律为：
    （a）当第 $ i $ 位的数字 $ >X $ 时，$ [1,n] $ 中第 $ i $ 位上为 $ X $ 的个数为：$ (n//10^i + 1) * 10^{(i-1)} $
    （b）当第 $ i $ 位的数字 $ <X $ 时，$ [1,n] $ 中第 $ i $ 位上为 $ X $ 的个数为：$ (n//10^i) * 10^{(i-1)} $
    （c）当第 $ i $ 位的数字 $ =X $ 时，$ [1,n] $ 中第 $ i $ 位上为 $ X $ 的个数为：$ (n//10^i) * 10^{(i-1)} + (n 取模 10^i-1*10^{(i-1)}+1) $
     注意：$ // $ 表示整除的意思。

  举例说明：
    对于 $ [1,2593] $ 中 $ 5 $ 出现的次数：
    （1）个位（从右至左第1位）：由于个位 $ 3<5 $ ,故对照规律（b）：$ 2593//10^1 imes 10^{(1-0)} = 259 $ ，也就是说，在 $ [0~2593] $ 中 $ 5 $ 在个位上出现了 $ 259 $ 次。
    （2）十位（从右至左第2位）：由于十位上的数字 $ 9>5 $ ，故对照规律（a）： $ (2593//10^2+1) imes 10^{(2-1)}=260 $ ，也就是说，在 $ [0~2593] $ 中 $ 5 $ 在十位上出现了 $ 260 $ 次。
    （3）百位（从右至左第3位）：由于百位上的数字 $ 5=5 $ ，故对照规律（c）： $ (2593//10^3) * 10^{(3-1)} + (2593取模10^3-5*10^{(3-1)}+1) = 294 $ ，也就是说，在 $ [0~2593] $ 中 $ 5 $ 在百位上出现了 $ 294 $ 次。
    （4）千位（从右至左第4位）：由于百千位上的数字 $ 2<5 $ ，故对照规律（b）：$ (2593//10^4) imes 10^{(4-0)} = 0 $ ，也就是说，在 $ [0~2593] $ 中 $ 5 $ 在千位上出现了 $ 0 $ 次。
    故 $ 5 $ 在 $ [1,2593] $ 中共出现了 $ 259+260+294+0=813 $ 次。

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3 程序代码：

class Solution:
	def NumberOf1Between1AndN_Solution(self, n):
		count = 0
		tmp = n
		i = 1
		while tmp != 0:
			# a为每位上的数字
			a = tmp % 10
			rem = n % (10**i)
			con = n // (10**i)
			base = 10**(i-1)
			if a > 1:
				count += (con + 1) * base
			elif a < 1:
				count += con * base
			else:
				count += con * base + (rem - 1*base + 1)
			tmp = tmp // 10
			i += 1
		return count