bzoj2115（线性基）

1、线性基：

　　若干数的线性基是一组数a1,a2,...an

，其中ax的最高位的1在第x

位。

　　通过线性基中元素xor

出的数的值域与原来的数xor

出数的值域相同。

2、线性基的构造法：

　　对每一个数p

从高位到低位扫，扫到第x位为1时，若ax不存在，则ax=p并结束此数的扫描，否则令p=p   xor ax。

3、查询：

　　用线性基求这组数xor

出的最大值：从高往低扫ax，若异或上ax

使答案变大，则异或。

4、判断：

　　用线性基求一个数能否被xor

出：从高到低，对该数每个是1的位置x，将这个数异或上ax（注意异或后这个数为1的位置和原数就不一样了），若最终变为0，则可被异或出。当然需要特判0（在构造过程中看是否有p变为0即可）。例子：(11111,10001)的线性基是a5=11111，a4=01110，要判断11111能否被xor出，11111 xor a5=0，则这个数后来就没有是1的位置了，最终得到结果为0，说明11111能被xor

出。

 

个人谈一谈对线性基的理解:

　　很多情况下，只有有关异或运算和求最值，就可以用到线性基。线性基有很多很好的性质，比如说如果有很多个数，我们可以构出这些数的线性基，那么这个线性基可以通过互相xor

，能够构出原来的数可以相互xor构出的所有的数。所以可以大大减少判断的时间和次数。同时线性基的任何一个非空子集都不会使得其xor和为0，证明也很简单，反证法就可以说明。这个性质在很多题目中可以保证算法合法性，比如：BZOJ2460

。

 

　　构造的方法有点像贪心，从大到小保证高位更大。也比较好理解。就是这几行代码：

　　

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

for(int i=1;i<=n;i++) {           　　　　for(int j=62;j>=0;j--) {           　　　　 if(!(a[i]>>j)) continue;//对线性基的这一位没有贡献                      　　　　　 　if(!p[j]) { p[j]=a[i]; break; }//选入线性基中                              　　　　　　 a[i]^=p[j];           　　　　 }       　　　}

 

　　

 

 

 

　　可以把n

个数变成只有最大的数的二进制位数那么多个数，这就是线性基的优秀之处。

 

　　查询的话，也是一个贪心思想，如果可以使得ans

更大，就把这一位的基xor进ans

。

　　 1 for(int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];//从线性基中得到最大值 

　　这就是线性基的基本用法和个人的一些理解。

 转载自ljh2000

　继续刷线性基...

　　这道题要求从1到n的最大xor和路径，存在重边，允许经过重复点、重复边。那么在图上作图尝试之后就会发现，路径一定是由许多的环和一条从1到n的路径组成。容易发现，来回走是没有任何意义的，因为来回走意味着抵消。考虑这道题求得是路径xor和最大，所以必然我们要想办法处理环的情况。我的做法是任意地先找出一条从1到n的路径，把这条路径上的xor和作为ans初值（先不管为什么可行），然后我们的任务就变成了求若干个环与这个ans初值所能组合成的xor最大值。显然，我们需要预处理出图上所有的环，并处理出所有环的环上xor值，这当然是dfs寻找，到n的路径的时候顺便求一下就可以了。

　　当我们得到了若干个环的xor值之后，因为是要求xor最大值，我们就可以构出这所有xor值的线性基。构出之后，再用ans在线性基上取max就可以了。

　　现在我们来讨论上述做法的可行性。

　　第一种情况：我们对最终答案产生贡献的某个环离1到n的主路径很远，这样的话，因为至少可以保证1可以到达这个环，那么我们可以走到这个环之后绕环一周之后原路返回，这样从1走到环的路上这一段被重复经过所以无效，但是环上的xor值被我们得到了，所以我们并不关心这个环和主路径的关系，我们只关心环的权值。

　　第二种情况：我们任意选取的到n的路径是否能保证最优性。假设存在一条更优的路径从1到n，那么这条路径与我们原来的路径构成了一个环，也就会被纳入线性基中，也会被计算贡献，假如这个环会被经过，那么最后的情况相当于是走了两遍原来选取的路径，抵消之后走了一次这个最优路径，所以我们无论选取的是哪条路径作为ans初值，都可以通过与更优情况构成环，然后得到一样的结果。这一证明可以拓展到路径上的任意点的路径选取。

　　这样我们就可以完美解决了。我第一次WA了一发，因为我没有考虑到ans初值不为0，在线性基上取到xor的max的时候，不能单纯以ans这一位是否为0来决定是否异或上基的这一位，必须要看异或之后取一个max做一个判断才行。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;

struct my{
       int v;
       int next;
       ll w;
};

const int maxm=200000+10;
const int maxn=50000+10;

int adj[maxn],top,fa,n,m;
bool vis[maxn];
my bian[maxm];
ll dn[maxm],quan[maxm],p[100];

void myinsert(int u,int v,ll w){
     bian[++fa].v=v;
     bian[fa].next=adj[u];
     bian[fa].w=w;
     adj[u]=fa;
}

void dfs(int u){
     vis[u]=true;
     for (int i=adj[u];i;i=bian[i].next){
          int v=bian[i].v;
          ll w=bian[i].w;
          if(!vis[v]) dn[v]=dn[u]^w,dfs(v);
          else quan[++top]=dn[v]^w^dn[u];
     }
}

int main(){
    int n,m;
    int u,v;
    ll w;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);
        myinsert(u,v,w);
        myinsert(v,u,w);
    }
    dfs(1);
    ll ans=dn[n];
    for (int i=1;i<=top;i++){
        for (int j=62;j>=0;j--){
            if(!(quan[i]>>j)) continue;
            if(!p[j]) {p[j]=quan[i];break;}
            quan[i]^=p[j];
        }
    }
    for (int i=62;i>=0;i--) if((ans^p[i])>ans) ans=ans^p[i];
    printf("%lld
",ans);
return 0;
}