可以得到这样的关系：奇数加、偶数减
例题一. poj 3904 Sky Code
题目大意
给一串数字，求解互质四元组的个数（注意不必两两互质）
解题思路
网上有很多代码，但是详细讲解的很少，这里结合笔者的思路详细论述一下解题思路，耐心一看。
首先容易想到，想计算不互质的四元组的个数，再用总的减去，关键是怎样计数不互质四元组的个数？？
枚举公约数，对于同一个四元组（6,12,18,36）可能既有公约数2，也有公约数3,和公约数6，我们在枚举过程中是计数到2？3？还是6？
容斥啊！！公约数有奇数个素因子就+，偶数个素因子就-（2、3都含有一个素因子就加，6含有2、3两个素因子就减）；找到公约数就要对读入的每一个数据进行素因子分解，对素因子进行组合，记录组合得到因子k含有几个素因子，用num[k]表示；开一个全局数组cnt[k]计数含有因子k的数据个数。然后根据容斥定理，如果因子k含有偶数个素因子（如6=2×3）减，奇数个素因子（如2=2,5=5,30=2×3×5）加，累加起来就得到不互质四元组的总个数啦！
有几个关键点
key 1: 理解cnt[i]表示含有因子i的数据的个数（2,4,6,8,10这组数据中cnt[i]=5）
num[i]表示因子i含有的不同素因子的个数（num[6]=2,减）
key 2:怎样得到cnt[i]、num[i]，或者说怎样实现素因子组合？用到了二进制表示的思想，第j位的1表示第j个素因子参与累乘，0表示不参与累乘，比如含有素因子2*3*5*7,1010表示2*1*5*1，0001表示1*1*1*7，以此类推……这样，只要素因子分解完记录含有素因子的个数tol,那么就有tol位二进制，注意到2*3*5*7*11*13>10000,所有最多有6位二进制；对于任意一个范围内的数i，遍历所有位j（从低位到高位）,i&(1《《j)==1,表示i的第j位二进制为1，意思是第j个素因子参与累乘；依据这样的意义，遍历二进制范围内的所有数i和i对应的所有二进制数位j，更新数组cnt[k]和num[k]即可！！
key 3:笔者错误的理解了素因子组合不是整数分解得到所有约数，得到了错误的num[i]和cnt[i]，举个例子：2,4,8,16,32这组数据，对应的
cnt = 5 , 4 , 3 , 2 , 1
num = 1 , 1 , 1 , 1 , 1
本来不可能有互质四元组的，但在容斥的时候会把cnt[2]、cnt[4]都算进去，原因就在于我进行了约数分解，并不是素因子组合！！！
正确答案是
cnt = 5 , 0 , 0 , 0 , 0
num = 1 , 0 , 0 , 0 , 0 (因为只有一个素因子2无法组合出4,8,16,32)
好了，参考着代码理解一下呗！
#include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> using namespace std; const int maxn=10000+10; typedef long long ll; ll p[maxn]; int prime[maxn],cnt[maxn],num[maxn]; void divide(int n){ int tot=0; for (int i=2;i*i<=n;i++){ if(n%i==0){ prime[tot++]=i; do{ n/=i; }while(n%i==0); } } if(n>1) prime[tot++]=n; for (int i=1;i<(1<<tot);i++){ int k=1; int sum=0; for(int j=0;j<tot;j++){ if(i&(1<<j)){ k*=prime[j]; sum++; } } cnt[k]++; num[k]=sum; } } int main(){ for (ll i=4;i<maxn;i++) p[i]=(i-1)*(i-2)*(i-3)*i/24; int n,m; memset(num,0,sizeof(num)); while(scanf("%d",&n)!=EOF){ memset(cnt,0,sizeof(cnt)); for (int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&m); divide(m); } ll ans=0; for (int i=2;i<maxn;i++){ if(cnt[i]>=4){ if(num[i]&1) ans+=p[cnt[i]]; else ans-=p[cnt[i]]; } } printf("%lld ",p[n]-ans); } return 0; }