算法实践--最长递增子序列(Longest Increasing Subsquence)

什么是最长递增子序列(Longest Increasing Subsquence)

对于一个序列{3, 2, 6, 4, 5, 1}，它包含很多递增子序列{3, 6}, {2,6}, {2, 4, 5}, {1}

其中最长的递增子序列是{2, 4, 5}

问题：对于长度为N的矢量D，如何找到它的最长递增子序列

一个简单的算法

for (i=N; i>0; --i) {1. 找到所有长度为i的子序列;   //复杂度为(N!)/(i!)(N-i)!    O(exp(N))
   2. 判断是否其中有一个为递增子序列
}

动态规划算法

基本思想：将一个复杂问题，分解为更小的子问题

首先定义LIS[i]，表示以D[i]结尾的最长子序列

对于矢量D = {3, 2, 6, 4, 5, 1}；

LIS[0]:  3
LIS[1]:  2
LIS[2]:  2,6
LIS[3]:  2,4
LIS[4]:  2,4,5
LIS[5]:  1

给出递推公式

LIS[0] = D[0]

LIS[i] = MAX(LIS[j] | j <i, D[j] <D[i]) + "D[i]"

解释：

当我们求LIS[i]时，对于任意j<i，LIS[j]都已知

在所有已知的LIS中，找出结尾的元素值小于D[i]，长度最长的一个

然后在后面加上D[i]元素，即为LIS[i]

示例C++代码

using namespace std;

void prt(vector<int>& arr, string msg = "") {
    cout << msg << " ";
    for  (auto i: arr) {
        cout << i << " ";
    }
    cout << endl;
}


void calc_LIS(vector<int>& D) {
    vector< vector<int> > L(D.size());  // The longest increasing subsequence ends with D[i]

   L[0].push_back(D[0]);

    for (int i=1; i<D.size(); i++) {
        for(int j=0; j<i; j++) {
            if ( (D[j] < D[i]) && ( L[i].size() < L[j].size() ) ) {
                L[i] = L[j];                  
            }         
        }
      L[i].push_back(D[i]);
    }

    for (auto x: L) {
        prt(x);
    }
}

int main() {
    int a[] = {3, 2, 6, 4, 5, 1};
    vector<int> arr(a, a + sizeof(a)/sizeof(a[0]));

    prt(arr, "Data In:");
    calc_LIS(arr);

    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度是O(N^2)

动态规范的基本思想是以一定的空间开销，显著缩短时间开销