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  • bzoj 2839: 集合计数【容斥原理+组合数学】

    首先,考虑容斥,我们所要的答案是并集至少有( k )个数的方案数减去并集至少有( k+1 )个数的方案数加上并集至少有( k )个数的方案数……
    在n个数中选i个的方案数是( C_{n}^{i} ),n种集合的组合方案数为( 2^n )
    并集至少有i个元素的方案数即为选( i )个元素的方案数( C_{n}^{i} ),乘上剩下( n-i )个元素任意组合的方案数( 2{2{n-i}-1} )
    然后乘上容斥系数( (-1)^{i-k} ),再乘上在并集的( i )个元素中选择( k )个元素的方案数( C_{i}^{k} )
    答案即为:( ans=sum_{i=k}{i<=n}(-1){i-k}*C_{n}{i}*C_{i}{k}*2{2{n-i}-1} ),ans可能为负数,记得最后( ans=(ans\%mod+mod)\%mod )

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    using namespace std;
    const long long mod=1e9+7,N=1000005;
    long long n,k,inv[N],fac[N],ans;
    long long ksm(long long a,long long b)
    {
    	long long r=1ll;
    	while(b)
    	{
    		if(b&1)
    			r=r*a%mod;
    		a=a*a%mod;
    		b>>=1;
    	}
    	return r;
    }
    long long C(long long n,long long m)
    {
    	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
    }
    int main()
    {
    	scanf("%lld%lld",&n,&k);
    	fac[0]=1;
    	for(long long i=1;i<=n;i++)
    		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;//,cout<<fac[i]<<" ";
    	inv[n]=ksm(fac[n],mod-2);
    	for(long long i=n-1;i>=0;i--)
    		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;//,cout<<inv[i]<<endl;;
    	for(long long i=n,b=2;i>=k;i--,b=b*b%mod)
    		ans=(ans+((((i-k)&1)?-1:1)*C(n,i)%mod*C(i,k)%mod*(b+mod-1)%mod))%mod;
    	printf("%lld",(ans%mod+mod)%mod);
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lokiii/p/8213459.html
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