C实现大整数幂求模问题的两种算法

     摘要： C实现大整数幂求模问题的两种算法 ：分治法和二进制分解法。

     难度： 初级 

    一、 问题描述：

       计算 (a^power) % m , 其中power 是非负的大整数， a, m 为大于1 的整数。

      二、 问题分析：  

        很显然， 由于 power 是大整数，因此，必须考虑到幂计算的溢出问题。怎么避免溢出呢？ 可以通过降低幂次、逐次取模来实现。一个自然的想法是，将power 分成两个整数之和， power = n1 + n2，则 a^power = (a^n1) * (a^n2) .    通常采用二分法， n1 = n2 或 |n1-n2| = 1 。这就涉及到 (a * b) % m 的计算 。

   不难证明：   (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m。  

   证明如下：   设 a = pm + r1, b = qm + r2 , 则 r1 = a % m, r2 = b % m ,  

                          则  (a * b) % m = (r1 * r2) % m = ((a % m) * (b % m)) % m.   证毕。

   特别地，当 a = b 时， (a^2) % m = ((a % m)^2) % m ;   这是一个简单却又关键性的结论。

三、 算法设计：

        算法1： 分治策略:

（1）若power 为奇数： 令 power = 2k+1, k 为非负整数  , 则

                   a^(2k+1) = (a^k)^2 *a ; a^(2k+1) % m = ((a^k % m)^2 % m * a) % m
  (2)   若power 为偶数:    令 power = 2k, k为非负整数， 则

                   a^(2k) = (a^k)^2 ; a^(2k) % m = (a^k % m)^2 % m
  (3)   若power == 1 : 返回 a % m ； 若 power == 0: 返回 1 % m。

       据以上(1)/(2)/(3) 条， 即可设计出相应的递归求解程序。时间复杂度为T(n) = T(n/2) + C = O(logn) ，空间复杂度为 O(1)， 不足之处在于有一定的递归调用开销。

        算法2： 整数的二进制分解

 将大整数 power 按照二进制进行分解：

            power = a[N] * 2^N + a[N-1] * 2^(N-1) + … + a[1] * 2 + a[0]

其中： a[i] 取值为 0 或 1 ( i=0,1,.., N)，则

           a^power = a^(a[N] * 2^N) * a^(a[N-1] * 2^(N-1)) * … * a^(a[1] * 2) * a^a[0]
 很显然:  

          (1) 若 a[i] = 0, 则 a[i] * 2^i = 0 , a^(a[i]*2^i) = 1, 该乘积项可以消去；

          (2) 若 a[i] = 1, 则 a[i] * 2^i = 2^i ， a^(2^i) % m = (a^(2^(i-1)) % m)^2 % m.  

                令 temp = a^(2^(i-1)) % m , 则 a^(2^i) % m = (temp * temp) % m。

比如,  power = 26 = 16 + 8 + 2 = (11010)2, 则 a^26 = a^(2^4 + 2^3 + 2^1);  

计算 a^power 实际上是计算 power 的二进制表示中所有位为1对应的乘积项。

                (a^26) % m = ((a^16 %m) * (a^8 %m) * (a^2 % m)) %m

而， a^8 % m = ((a^4 %m) × (a^4%m)) % m  是可以用动态规划法逐次求解的。 简单起见， 将 (a^i) % m 称为 “取模乘积项”。

算法描述：

令 temp = a^(2^i) % m ， i 是 power 的当前二进制位所对应的位置，

                                        temp 表示 power 的当前二进制位所对应的（取模）乘积项

STEP1:   初始化 temp 为 a % m  ,  result = 1;

STEP2:   对 power 进 行二进制分解。 若 power >=1 , 则进行模2运算：否则转至 STEP3

 [1]  若余数为1, 则该位置上的二进制为1, 乘积中需要加入此时的 temp 项 :  result = (result * temp) % m； 

           下一个二进制位对应的乘积项为 temp = (temp * temp) % m 

 [2]  若余数为0, 则该位置上的二进制为0,乘积中不需要加入 temp 项， result 保持不变， 

           下一个二进制位对应的乘积项为 temp = (temp * temp) % m 

STEP3： 所有的二进制位对应的乘积项都已计算，算法结束。

比如， result = (3^26) % 5 的计算过程如下：26 = （11010)2 ; 

（1）初始化:  temp = 3^1 % 5 = 3;, result = 1 ;  

  (2)   检测 26 的最低位二进制为0,  则 不加入乘积项，result = 1,   temp =(3^2) % 5 = (temp * temp) % 5 = 4

  (3)   检测 26 的次低位二进制为1, 则 加入乘积项， result = (result * temp) % 3 = 4 , temp = (3^4) % 5 = (4*4) % 5 = 1;

  (4)   检测 26 的次低位二进制为0, 则 不加入乘积项， result = 4, temp = (3^8) % 5 = (1*1) % 5 = 1; 

  (5)   检测 26 的次低位二进制为1, 则 加入乘积项， result = (result * temp) % 5 = 4, temp = (3^16) % 5 = 1;

  (6)   检测 26 的次低位二进制为1, 则 加入乘积项， result = (result * temp) % 5 = 4, temp = (3^32) % 5 = 1.

   由于所有位都检测完毕， 故 3^26 % 5 = 4.  由上可知， 

   3^26 % 5 = ((3^16) % 5)) * ((3^8) % 5) * ((3^2) % 5) % 5.  其中 3^16 % 5, 3^8 % 5, 3^2 % 5 是通过动态规划法逐渐求得的。

 

完整的程序如下：  

程序在 Ubuntu10.10 gcc4.4.5 环境下编译运行通过。
  $ gcc -g -Wall bintmode.c runtime.c -o bintmode # 编译连接
  $ bintmode or gdb bintmode # 运行

 

/*
 * bintmode.c :  此程序计算 (a^power) % mod. power 是大整数
 * 基本公式： (a*b) mod m = ((a mod m) * (b mod m)) mod m
 */

#include <stdio.h>
#include <assert.h>

int modMRec(int, int, int);
int modMDyn(int, int ,int);
void testModMRec(int);
void testModMDyn(int);

void testValid(int (*fun)(int a, int power, int mode));
void testInvalid(int (*fun)(int a, int power, int mode));

int main()
{
   printf(" ******** 使用递归技术求解： ******** \n");
   testValid(modMRec);
   /* testInvalid(modMRec);  */ 
   defRuntime(testModMRec);

   printf(" ******** 使用二进制分解技术求解： ******** \n");
   testValid(modMDyn);
   /* testInvalid(modMDyn);  */ 
   defRuntime(testModMDyn);

   return 0;
}

/*
 * modMRec: 递归求解 (a^power) % mod , power 是个大整数
 */
int modMRec(int a, int power, int mod)
{
   assert(a>=1 && power >=0 && mod >=1);
   if (power == 0) {
       return 1 % mod;
   }
   if (power == 1) {
       return a % mod;
   }
   if (power % 2 != 0) {
       int temp = modMRec(a, power/2, mod);
       return  (temp * temp * a) % mod;
   } 
   else {
       int temp = modMRec(a, power/2, mod);
       return  (temp * temp) % mod;
   }
}

/*
 * modMDyn: 使用二进制分解技术求解 (a^power) % mod , power 是个大整数
 */
int modMDyn(int a, int power, int mod)
{
   assert(a>=1 && power >=0 && mod >=1);
   int result = 1;
   int temp = a % mod;
   while (power >= 1) {
      if (power % 2 != 0) {
         result = (result * temp) % mod;   
      }
      temp = (temp * temp) % mod;
      power /= 2;   
   }
   return result;
}

void testValid(int (*fun)(int a, int power, int mode))
{
   int base[5] = {2,3,5,7,11};
   int i,k;

   for (i=0; i < 5; i++) {
     for (k = 0; k < 20; k++) {
        printf("%d ^ %d mod %d = %d .\n", base[i], k, 10, (*fun)(base[i], k, 10));
     }    
   }
}

void testInvalid(int (*fun)(int a, int power, int mode))
{ 
   printf("0 ^ 3 mod 5");
   (*fun)(0, 3, 5);  
   printf("3 ^ -1 mod 5");
   (*fun)(3, -1, 5);
   printf("3 ^ 5 mod 0");
   (*fun)(3, 5, 0);
}

void testModMRec(int n)
{
   modMRec(2, n, 10);
}  

void testModMDyn(int n)
{
   modMDyn(2, n , 10);
}


#include <stdio.h>
#include <time.h>

#define MAX_SCALE 10

long defScale[MAX_SCALE] = {1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, 1000000000};

/* runtime: 测量 fun 指向的函数的运行时间
 * fun: 指向测试函数的指针 ；
 * scale:  问题规模数组 
 */
void runtime(void (*fun)(long scale), long* scale, int len);

void defRuntime(void (*fun)(long scale));

void runtime(void (*fun)(long scale), long *scale, int len)
{
   int i;
   clock_t start, end;
   for (i = 0; i < len; i++) {
      start = clock();
      (*fun)(scale[i]);
      end = clock();
      printf("scale: %12ld\t run time: %8.4f (ms). \n", scale[i], ((double)(end-start)) * 1000 / CLOCKS_PER_SEC);
   }
}

void defRuntime(void (*fun)(long scale))
{
   runtime(fun, defScale, MAX_SCALE);
}

四、总结： 关于科学计算的算法
1. 往往要先查阅相关资料，了解相应的数学性质及结论，并对问题进行化简；例如本例中使用 (a*b)%m = ((a%m)*(b%m))%m 的模性质，避免了乘法溢出的问题。
2. 可以首选分治法和二进制分解法。分治法将所要求解的数值规模减半，而二进制分解则从数值的一个特别角度来寻求问题的解答。