P4016 负载平衡问题

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说明

1≤n≤100
#include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int N=1e6+5; int n,s; long long a[N],sum[N],ave; inline long long read() { char c=getchar();long long num=0; for(;!isdigit(c);c=getchar()); for(;isdigit(c);c=getchar()) num=num*10+c-'0'; return num; } int main() { n=read(); for(int i=1;i<=n;++i) { a[i]=read(); ave+=a[i]; } ave/=n; for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+a[i]-ave; sort(sum+1,sum+n+1); long long T=sum[n/2+1],ans=0; for(int i=1;i<=n;++i) ans+=abs(sum[i]-T); printf("%lld",ans); return 0; }
设第 $i$ 个小朋友从他左边小朋友那里得到 $l_{i}$ 个糖果，向他右边的小朋友传递 $r_{i}$ 个糖果
（ $l_{i}$ 与 $r_{i}$ 都可以为负数）
显然 $l_{i} = r_{i - 1}$ ,特殊地 $l_{1} = r_{n}$
设 $p$ 为最终每个小朋友手中的糖果数
则有 $l_{i} + a_{i} - r_{i} = p$ , 即 $r_{i} = l_{i} + (a_{i} - p)$
而我们又有 $l_{i} = r_{i - 1}$
一直递归下去有 $r_{i} = l_{1} + (a_{1} - p) + (a_{2} - p) + (a_{3} - p) + \dots + (a_{i} - p)$
最终答案为 $| r_{1} | + | r_{2} | + \dots + | r_{n} |$
我们可以记下 $a_{i} - p$ 的前缀和为 $s u m_{i}$
那么 $a n s = | l_{1} + s u m_{1} | + | l_{1} + s u m_{2} | + \dots + | l_{1} + s u m_{n} |$

设第 $i$ 个小朋友从他左边小朋友那里得到 $l_{i}$ 个糖果，向他右边的小朋友传递 $r_{i}$ 个糖果
（ $l_{i}$ 与 $r_{i}$ 都可以为负数）
显然 $l_{i} = r_{i - 1}$ ,特殊地 $l_{1} = r_{n}$
设 $p$ 为最终每个小朋友手中的糖果数
则有 $l_{i} + a_{i} - r_{i} = p$ , 即 $r_{i} = l_{i} + (a_{i} - p)$
而我们又有 $l_{i} = r_{i - 1}$
一直递归下去有 $r_{i} = l_{1} + (a_{1} - p) + (a_{2} - p) + (a_{3} - p) + \dots + (a_{i} - p)$
最终答案为 $| r_{1} | + | r_{2} | + \dots + | r_{n} |$
我们可以记下 $a_{i} - p$ 的前缀和为 $s u m_{i}$
那么 $a n s = | l_{1} + s u m_{1} | + | l_{1} + s u m_{2} | + \dots + | l_{1} + s u m_{n} |$
绝对值是个美妙的东西， $| l_{1} + s u m_{i} |$ 可想为数轴上 $- l_{i}$ 与 $s u m_{i}$ 的距离
那么 $a n s$ 的最小值在 $- l_{1}$ 取 $s u m_{i}$ 中位数时取到

求出 $s u m_{i}$ 及其中位数后计算即可。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lovewhy/p/8969477.html

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