算法-动态规划（01背包）

最近闲来无事，学学算法。

什么是动态规划，我们要如何描述它?

动态规划算法通常基于一个递推公式及一个或多个初始状态。当前子问题的解将由上一次子问题的解推出。使用动态规划来解题只需要多项式时间复杂度，因此它比回溯法、暴力法等要快许多。

这里所说的子问题并不一定指前一个问题的解

比如说1+2+3+。。。+100，我们这里可以sum[i]+100来求出总和，而sum[i]是1加到i的总和，这个问题就是1加到99的子问题再加上100就得到。

动态规划则并非是如此，它可能跟前面所有的子问题的某个解有联系，举个例子：

如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？

(表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出解，比如1元换成2元的时候)

首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？为什么要这么问呢？两个原因：1.当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的 规模变小，这样便于分析讨论。 2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的，本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。

好了，让我们从最小的i开始吧。当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需 要0个硬币。 (这个分析很傻是不是？别着急，这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。) 这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。”会比较方便，如果一直用纯文字来表述，不出一会儿你就会觉得很绕了。那么，我们用 d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0，表示凑够0元最小需要0个硬币。当i=1时，只有面值为1元的硬币可用， 因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道答案的，即d(0)=0。所 以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。当i=2时，仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的硬币，接下来我只需要再 凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量)，而这个答案也已经知道了。所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到这里，你 都可能会觉得，好无聊，感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币！耐心点，让我们看看i=3时的情况。当i=3时，我们能用的硬 币就有两种了：1元的和3元的( 5元的仍然没用，因为你需要凑的数目是3元！5元太多了亲)。既然能用的硬币有两种，我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币，我的目标就变为了：凑够 3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。这个方案说的是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一 个3元的硬币，我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是，我拿1个3元的硬币，这里d(3)值跟d(2)是没有关系的，如果你还不理解，下面我们结合01背包来说明。好了，这两种方案哪种更优呢？记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以，选择d(3)=1，怎么来的呢？ 具体是这样得到的：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

状态和状态转移方程

从以上的文字中，我们要抽出动态规划里非常重要的两个概念：状态和状态转移方程。

状态：就是上面d(3)d(2)等，抽象d(i);

状态转移方程：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}，抽象d(i)=min{ d(i-v_j)+1 }，其中i-v_j >=0，v_j表示第j个硬币的面值;

01背包问题

问题描述：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

状态转移方程：f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的
伪码：
  for i=1..N
   for v=V..0
    f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};
如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，
价值为f[i-1][v]；
如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，
此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

如果一开始看01背包这里最容易混淆，我就是在这里迷糊好久，要特别如果不明白要特别注意上面粗体的字，它是先放第i件，然后剩下容量再放前面i-1件，然而剩下容量所装的物品，我们前面都已求出，下面，让我们根据代码来理解；

Input输入的第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表背包容量，M代表物品数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整 数，分别表示每个物品的体积和价值。
Output输出包括一行，这一行只包含一个整数，装入背包可使价值总和最大。
Sample Input
70 3
71 100
69 1
1 2
Sample Output
3

#include<iostream>
# include<cstring>
# define max(a,b) a>b?a:b
using namespace std;
int main()
{

    int dp[101][1001],m,T,w[101],val[101],i,j;
    cin>>T>>m;
    for(i=1;i<=m;i++)
        cin>>w[i]>>val[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
     for(j=0;j<=T;j++)//j相当于上面说的V-c[i]，这里的循环都是为后面解准备的
     {
    if(j>=w[i])
        dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+val[i]);//放还是不放的选择
    else dp[i][j]=dp[i-1][j];
　　cout<<dp[i][j]<<" ";
     }
     cout<<endl;
    }
     cout<<dp[m][T]<<endl;
     return 0;
} 

这里就测试一下，
10 4
5 10
8 16
5 5
10 10

如果要符合上面题目输出要求，把红色代码去掉